Générateurs de O(q), adjoint
dans Algèbre
Bonjour,
j'aimerais montrer que pour toute forme quadratique q, le groupe orthogonal O(q) est engendré par les réflexions. Dans le Cours d'Algèbre de Perrin, on se donne u dans O(q), et on suppose qu'il existe x non nul et non isotrope tq u(x)=x. On appelle H l'orthogonal de Vect(x), et là il dit que H est u-stable. Je ne comprends pas pourquoi.
Du coup j'en suis venu à me demander si on pouvait définir l'adjoint d'un endomorphisme sur un espace quadratique quelconque (car alors vu que u est un endomorphisme normal, j'arriverais à prouver la stabilité de H).
Mes questions sont donc : peut-on définir l'adjoint sur (E,q) ? Si oui, comment ? Est-ce bien comme ceci qu'il faut procéder pour montrer que H est u-stable ?
Merci d'avance
j'aimerais montrer que pour toute forme quadratique q, le groupe orthogonal O(q) est engendré par les réflexions. Dans le Cours d'Algèbre de Perrin, on se donne u dans O(q), et on suppose qu'il existe x non nul et non isotrope tq u(x)=x. On appelle H l'orthogonal de Vect(x), et là il dit que H est u-stable. Je ne comprends pas pourquoi.
Du coup j'en suis venu à me demander si on pouvait définir l'adjoint d'un endomorphisme sur un espace quadratique quelconque (car alors vu que u est un endomorphisme normal, j'arriverais à prouver la stabilité de H).
Mes questions sont donc : peut-on définir l'adjoint sur (E,q) ? Si oui, comment ? Est-ce bien comme ceci qu'il faut procéder pour montrer que H est u-stable ?
Merci d'avance
Réponses
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Bah oui, on peut si $(V,q)$ est non dégénérée, de la même façon que pour un produit scalaire.
Si $f\in End(V)$, alors il existe un unique $f^*\in End(V)$ tel que $b_q(f(x),y)=b_q(x,f^*(y))$, pour tous $x,y\in V$.
Ici $b_q$ désigne la forme polaire de $q$. -
Ok, merci. Mais est-ce que c'est la façon la plus simple de voir que H est u-stable ? Dans un autre livre j'ai lu que "u est une isométrie donc par définition, u(H)=H"...
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Pour tout $y\in H$, on a $b_q(x,u(y))=b_q(u(x),u(y))=b_q(x,y)=0$.
Donc $u(y)$ est orthogonal à $x$, donc est dans $H$. -
Merci !
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Bonjour!
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