Solution linéaire à coefficients positifs.

Par définition, la matrice de $f$ dans les bases que tu as choisies te donnent les coordonnées des images des vecteurs de base de $\R^n$ dans la base choisie de $\R^m$. Si tous les éléments de la matrice sont positifs, ca veut donc dire que les images des vecteurs de base sont à coordonnées positives, et par suite toute combinaison linéaire à coeff positifs de ces vecteurs aura aussi une image à coeff positifs..

Si $v_1,\ldots,v_n$ sont les colonnes de $A$ bien sur que le cone convexe $C$ engendre est contenu dans $[0,\infty)^m$ mais tu demandes en fait une description de $C$ autre que sa definition. On peut penser au theoreme de Fourier Motzkin qui decrit $C$ en termes d'intersection d'un nombre fini de demi espaces $ \{y; \langle y,x_j\rangle >0\}$ avec $j=1,\ldots, N.$ C'est decrit dans un livre de Ziegler (1995) Lectures on Polytopes Springer. Donc si tu veux savoir si $y\in C$ (donc si $A(x)=y$ a une solution positive) il suffit de tester si $\langle y,x_j\rangle >0$ pour tous $j=1,\ldots, N.$

Il y a des bibliotheques de programme qui permettent de passer de $(v_1,\ldots, v_n) $ \`a $(x_1,\ldots, x_N)$ mais ce n'est pas de la tarte. Amicalement.