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Solution linéaire à coefficients positifs.

Envoyé par SXB 
SXB
Solution linéaire à coefficients positifs.
il y a neuf années
Bonjour. Soit f une application linéaire surjective de IRn dans IRm, où m et n sont deux entiers naturels non nuls tels que n>m, telle que tous les coefficients de la matrice A "canoniquement associée" à f soient positifs.

A quelle condition, nécessaire et suffisante (simple si possible!) sur f et sur un élément y de (IR+*)m, existe-t-il un élément x de (IR+)n, tel que f(x)=y?

Merci d'avance!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par SXB.
Re: Solution linéaire à coefficients positifs.
il y a neuf années
avatar
Par définition, la matrice de $f$ dans les bases que tu as choisies te donnent les coordonnées des images des vecteurs de base de $\R^n$ dans la base choisie de $\R^m$. Si tous les éléments de la matrice sont positifs, ca veut donc dire que les images des vecteurs de base sont à coordonnées positives, et par suite toute combinaison linéaire à coeff positifs de ces vecteurs aura aussi une image à coeff positifs..
SXB
Re: Solution linéaire à coefficients positifs.
il y a neuf années
Certes, mais je cherche une solution à f(x)=y parmi ces vecteurs!
Gerard Letac
Re: Solution linéaire à coefficients positifs.
il y a neuf années
Si $v_1,\ldots,v_n$ sont les colonnes de $A$ bien sur que le cone convexe $C$ engendre est contenu dans $[0,\infty)^m$ mais tu demandes en fait une description de $C$ autre que sa definition. On peut penser au theoreme de Fourier Motzkin qui decrit $C$ en termes d'intersection d'un nombre fini de demi espaces $ \{y; \langle y,x_j\rangle >0\}$ avec $j=1,\ldots, N.$ C'est decrit dans un livre de Ziegler (1995) Lectures on Polytopes Springer. Donc si tu veux savoir si $y\in C$ (donc si $A(x)=y$ a une solution positive) il suffit de tester si $\langle y,x_j\rangle >0$ pour tous $j=1,\ldots, N.$

Il y a des bibliotheques de programme qui permettent de passer de $(v_1,\ldots, v_n) $ \`a $(x_1,\ldots, x_N)$ mais ce n'est pas de la tarte. Amicalement.
SXB
Re: Solution linéaire à coefficients positifs.
il y a neuf années
Merci pour la référence...je regarderai à l'occasion.

Oui je me disais bien que ce cône pouvait s'écrire comme une intersection finie de demi-espaces...mais pour trouver les xj, bonjour!!!
Enfin...quelque chose me dit qu'ils sont obtenus en gros par une sorte de généralisé du produit vectoriel ... (ou par complétion de famille libre en base) à partir de certaines parties de l'ensemble {v1,...,vn}

En gros il "suffit" de calculer les équations des hyperplans délimitant le cône...lol il suffit.

Bon je vais chercher le bouquin...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par SXB.
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