Groupe des automorphismes monogène

endy
endy
dans Algèbre
Je n'arrive pas à venir à bout de l'exercice suivant : soit G un groupe tel que aut(G) est monogène ; montrer que G est abélien.
Pour ce faire, je pensais montrer que le groupe des automorphismes intérieurs est réduit à l'identité, mais je coince...

Réponses

  • SXB
    SXB
    Bon, déjà le centre de G est stable par automorphisme dans tous les cas...
  • PB
    PB
    Bonjour,
    Sauf erreur, on a la suite exacte naturelle $1\to Z(G)\to G\to Int(G)\to 1$.
    Ensuite, on peut se souvenir d'un exercice classique : si $G/Z(G)$ est monogène alors $G=Z(G)$, et c'est terminé :-)
  • endy
    endy
    merci à vous deux, j'ai plus qu'il ne m'en faut pour conclure....
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