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Monomorphisme et objet injectif...

Envoyé par Ksilver 
Monomorphisme et objet injectif...
il y a quatre années
Titre initial : Monomorphisme et objet injectif dans les catégorie algébrique.
[Un titre doit être concis. ;) AD]

Bonjour !

Me revoilà avec encore une petite question de catégorie...

Avant de commencer : Ce que j'appelle catégorie algébrique, c'est ce qui est définit dans Borceux (Handbook of categorical algebra) tome 2, chapitre 3. C'est-à-dire une catégorie C avec un objet 'e' marqué, telle que les somme directes finies de e existent (noté e^(n) ) et C est équivalente à la catégorie des foncteur contravariant de F : (e^(0),e^(1),...,e^(n),...) dans Set tel que F(e^(n))=F(e)^n pour tout n... (j'imagine que la notion est assez standard...)
(exemple : A-module à droite, M-ensemble pour un monoïde M, ensemble pointé, anneau)

C'est équivalent à la notion de catégorie des algèbres sur une monade de rang fini sur la catégorie des ensembles.

Ce que je me demande c'est :
- Est-ce que l'on sait reconnaitre les catégories algébriques dans lesquelles tout monomorphisme est un monomorphisme fort ?
- Est-ce que l'on sait reconnaitre celles qui on un cogénérateur injectif ?

Ce qui m'intéresse principalement c'est le cas où la catégorie algébrique considérée est commutative (ie que pour tous f : e->e^(n), g : e->e^(m) on a f°g^(n) = g°f^(m), c'est équivalent à l'existence d'une structure monoïdale fermée admettant e pour élément neutre) en effet, je ne connais aucun exemple de catégorie algébrique commutative qui ne vérifie pas ces propriétés... (alors que par exemple la catégorie des groupes n'a pas de cogenerateur injectif, et la catégorie des anneaux a des monomorphismes non forts...). Donc si quelqu'un connait déjà de telles exemples ça m'intéresse beaucoup !

Merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
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