divisibilité par 11 et congruence
Bonjour,
J'essaie d'aider un ami afin de résoudre le pb qui suit, mais je suis sec !!!, je sais qu'il faut utiliser les congruences...mais comment ???
On décide de former des nbres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les 2 chiffres de gauche.
Ex : 5467
démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11.
Merci beaucoup pour votre aide.
J'essaie d'aider un ami afin de résoudre le pb qui suit, mais je suis sec !!!, je sais qu'il faut utiliser les congruences...mais comment ???
On décide de former des nbres dans le système décimal en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l'ordre croissant, puis en permutant les 2 chiffres de gauche.
Ex : 5467
démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11.
Merci beaucoup pour votre aide.
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Réponses
Connais-tu un critère de divisibilité par 11 ?
-- Schnoebelen, Philippe
Soit alors $a$ entier compris entre $3$ et $9$. Ton nombre s'écrit alors en base $10$ sous la forme $N = 1000(a-2) + 100(a-3)+10(a-1)+a$, et, modulo $11$ et via ce que l'on a dit ci-dessus, on obtient :
$$N \equiv 2-a+a-3+1-a+a \equiv 0 \pmod {11}$$
d'où le résultat annoncé.
Borde.
Une vieille règle de divisibilité : le nombre qui s'écrit abcdef... en décimal est divisible par 11 si et seulement si a-b+c-d+e-f+... est divisible par 11.
Dans ton cas si a est le premier chiffre, les suivants sont a+1, a+3 et a+2 et le total a-(a+1)+a+3-(a+2) vaut 0.
Cordialement.
Ces nombres sont de la forme:
$A=10^3 (n+1) + 10^2 n + 10 (n+2) + (n+3)$
Or;
$10=-1 \pmod {11}$
$10^2=(-1)^2 = 1 \pmod{11}$
$10^3=(-1)^3 = -1 \pmod{11}$
Ainsi
$A=-(n+1) + n - (n+2) + (n+3) = 0 \pmod{11}$
> Ces nombres sont de la forme:
> $A=10^3 (n+1) + 10^2 n + 10 (n+2) + (n+3)$
\[A=10^3 (n+1) + 10^2 n + 10 (n+2) + (n+3) = 1111 n +1023 = 11(101n+93).\]
Soit n un entier positif consistant d'un 1 suivi par un nombre pair de 3.
Par exemple: 133333333333333333333
Prouver que n n'est jamais un nombre premier.
Michiel
-- Schnoebelen, Philippe
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