tenseur d'applications linéaires

fanf · September 2010

Bonjour.
Voici des questions de base : j'ai du mal à entrer dans la théorie des tenseurs...
1) On se donne f, g deux applications linéaires f : V->V' et g : W->W'. Quel est le noyau de f tenseur g ? Si vous pouvez m'indiquer une démonstration.
2) Soit V un ev de dimension finie et f un isomorphisme de E.On considère G= f tenseur t(f-1) (la transposée de l'inverse de f...). Cet élément peut être vu comme un élément de L(V) tenseur L(V*) ou encore comme un élément de L(L(V)) via l'isomorphisme V tenseur V* = L(V). L'exercice demande de déterminer via cet enchainement d'isomorphisme l'expression de G(h) en fonction de f, pour h dans L(V). Je ne vois pas comment commencer. J'ai montré les isomoprhismes supposés acquis par l'énoncé mais c'est tout. Peut être avez vous des idées...

Merci d'avance.

GreginGre · September 2010

Je suppose pour simplifier que les espaces vectoriels sont de dimension finie, mais sinon ça marche pareil.

On prend $e_1,...,e_r,e_{r+1},...,e_n$ une base de $V$ adaptée à $f$, i.e. $f(e_1),...,f(e_r)$ est une base de $Im(f)$ et $(e_{r+1},\ldots,e_s)$ est une base de $\ker(f)$.

On prend $e'_1,...,e'_s,e'_{s+1},...,e'_m$ de base de $W$ adaptée à $g$.

En utilisant la base $e_i\otimes e'_j$ de $V\otimes W$, je pense que l'on peut montrer sans trop de mal que
$ker(f\otimes g)=V\otimes ker(g)+ker(f)\otimes W$.

Je n'ai pas vérifié les détails.

GreginGre · September 2010

Pour le 2), commence peut-être par calculer l'image des éléments de base $e_i\otimes e_j^*$ (où $e_1,...,e_n$) est une base fixée de $V$.

fanf · September 2010

Merci pour ces indications je pense que c'est bon le 1. En revanche il faut vraiment que je me mette à latex si je veux montrer mes essais pour le 2.
MErci en tout cas.

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