A quoi sert le Frobenius ?
Bonjour. Je suis en train de travailler sur les corps finis et j'aimerais savoir à quoi peut servir "concrètement" l'homomorphisme de Frobenius ?
J'ai lu que celui ci engendre le groupe Gal(Fp^n,Fp). Quel est ce groupe : s'agit-il des isomorphismes de Fp^n laissant stable Fp ?
A quoi cela sert de savoir ceci ?
Y a-t-il d'autres utilisations du Frobenius à part le fait que cet homomorphisme est l'identité sur Fp ?
Merci d'avance pour vos indications.
François.
[Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) mérite certainement sa majuscule. AD]
J'ai lu que celui ci engendre le groupe Gal(Fp^n,Fp). Quel est ce groupe : s'agit-il des isomorphismes de Fp^n laissant stable Fp ?
A quoi cela sert de savoir ceci ?
Y a-t-il d'autres utilisations du Frobenius à part le fait que cet homomorphisme est l'identité sur Fp ?
Merci d'avance pour vos indications.
François.
[Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) mérite certainement sa majuscule. AD]
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Réponses
Personnellement, l'application la plus intéressante que je lui connaisse est la caractérisation des corps parfaits parmi les corps commutatifs.
Sauf erreur de ma part :
1) un corps commutatif est dit parfait lorsque toute extension algébrique de ce corps est séparable,
2) un corps commutatif est parfait ssi il est de caractéristique nulle ou de Frobenius surjectif.
Corollaire : tout corps fini est parfait.
En espérant ne pas avoir dit de bêtise.
-- Schnoebelen, Philippe
Mais je vais m'intéresser au problème que vous me soumettez, si vous avez d'autres idée n'hésitez pas!
Merci
Francois
[edit : la case LaTeX]