groupe spécial linéaire sur un corps fini

fanf
fanf
dans Algèbre
Bonjour, je souhaiterais calculer l'ordre du groupe spécial linéaire sur Fq : SLn(Fq), sachant que je connais celui de GLn(Fq). Je connais le résultat, il faut diviser ce dernier cardinal par celui de Fq* (q-1). Mais je ne comprends pas pourquoi.
En revanche l'ordre de PGLn(Fq) est le même parce qu'on quotiente par les homothéties qui sont déterminées par leur rapport non nul (ce qui nous fait q-1 éléments...) Est-ce correct ?
Merci,
François

Réponses

  • jobherzt
    jobherzt
    La 2e assertion me parait correct.

    Pour la première, remarque par exemple que $SL_n(F_q)$ est le noyau du morphisme de groupe $\det:GL_n(F_q) \rightarrow F_q^*$. Comme ce morphisme est surjectif...
  • fanf
    fanf
    Merci pour la reponse. J'ai trouvé finalement avec ce morphisme f : GLn -> SLn , f(u)=u/det(u). Elle est surjective et son noyau est isomorphe à Fq* (les homothéties de rapport (non nul..)). Mais jobhertz votre morphisme est bien plus simple et naturel.
    Merci,
    François.
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    fanf: Surtout que ton morphisme $f$ n'est pas à valeurs dans $SL_n$... du moins pas pour tous $n$, $q$...

    Je te rappelle que pour toute matrice $A$, et tout scalaire $\lambda$, on a $\det(\lambda A)= \lambda^n \det(A)$ et non $\lambda \det(A)$. Par exemple, si $n=2$ , $F_q =\Z/5\Z$ et $u=2 id$ alors $\det(f(u))=4$ si je ne m'abuse.
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