Avez-vous une idée pour répondre à la question suivante : peut-on trouver un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_3(\R)$ stable par produit et de dimension 7 ? Puis la même question avec 8.
Pour la dimension 8 ca n'existe pas. Soit $E$ un espace réel de dimension 3, $L$ l'espace de ses endomorphismes et $a\in L$ non nul tel que $F=\{x\in L; trace(ax)=0\}$ soit fermé pour la multiplication. Puisque qu'on est en dimension 3 il existe une valeur propre réelle $c$ pour $a$ et on peut trouver une base de $E$ telle que la matrice représentative de $a$ soit
$$a=\left[\begin{array}{cc}A&B\\0&c\end{array}\right]$$ avec $A$ matrice 22 et $B$ vecteur colonne de longueur 2. Soit alors $$x=\left[\begin{array}{cc}X&Y\\Z&t\end{array}\right],\ \ x'=\left[\begin{array}{cc}X'&Y'\\Z'&t'\end{array}\right]$$ En écrivant que trace $(ax)$=trace $(ax')=0$ entraine toujours que trace$ (axx')=0$ on arrive \`a montrer que $a=0,$ ce qui est une contradiction.
Une question connexe (la réponse se trouve peut-être dans l'article de dSP, mais je ne la vois pas...).
Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\R)$ stable par produit et $d=\dim A$. Si $A$ est strictement inclus dans $\mathcal M_n(\R)$, alors on sait que $d\leqslant n^2-n+1$ (ça c'est dans l'article).
Ma question : si $0 \leqslant d\leqslant n^2-n+1$, peut-on trouver $A$ stable par produit tel que $\dim A=d$ ? J'ai vérifié à la main et ça a l'air de marcher pour $n=3, 4, 5$.
Il y a un article d'Abou-Jaoudé publié dans Quadrature qui traite en partie de la question.
Celui-ci donne un procédé algorithmique permettant, deux entiers $n$ et $d$ étant donnés,
de savoir s'il existe une sous-algèbre de $M_n(K)$ de dimension $d$ et, le cas échéant, d'en produire une explicitement.
Dans mon souvenir, la limitation $d \leq n^2-n+1$ n'est pas suffisante pour qu'une telle sous-algèbre existe
(mais cela ne se voit pas pour de petites valeurs de $n$).
Si l'on dispose d'un sous-espace $V$ de $M_n(K)$ de dimension $d$ et stable par multiplication, alors
$\mathrm{Vect}(I_n)+V$ est une sous-algèbre de dimension $d$ ou $d+1$.
En examinant les détails de l'article d'Abou-Jaoudé, on doit réussir à invalider votre conjecture par cet argument. Parallèlement, il est possible que l'algorithme d'Abou-Jaoudé puisse être adapté pour traiter le cas des sous-espaces stables par multiplication ne contenant pas nécessairement la matrice identité : il faudrait regarder les détails.
L'article en question s'appelle Sur la dimension d’une sous-algèbre de $M_n(K)$ et il se trouve dans le numéro 82 de Quadrature p.25-35.
Mais je n'arrive pas à mettre la main dessus sur le net... J'ai juste trouvé le lien vers l'algorithme, mais sans explications :
Réponses
$$a=\left[\begin{array}{cc}A&B\\0&c\end{array}\right]$$ avec $A$ matrice 22 et $B$ vecteur colonne de longueur 2. Soit alors $$x=\left[\begin{array}{cc}X&Y\\Z&t\end{array}\right],\ \ x'=\left[\begin{array}{cc}X'&Y'\\Z'&t'\end{array}\right]$$ En écrivant que trace $(ax)$=trace $(ax')=0$ entraine toujours que trace$ (axx')=0$ on arrive \`a montrer que $a=0,$ ce qui est une contradiction.
http://arxiv.org/abs/1004.0241
Soit $A$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\R)$ stable par produit et $d=\dim A$. Si $A$ est strictement inclus dans $\mathcal M_n(\R)$, alors on sait que $d\leqslant n^2-n+1$ (ça c'est dans l'article).
Ma question : si $0 \leqslant d\leqslant n^2-n+1$, peut-on trouver $A$ stable par produit tel que $\dim A=d$ ? J'ai vérifié à la main et ça a l'air de marcher pour $n=3, 4, 5$.
Merci d'avance,
Michal
$$
\{0\} \quad \left(
\begin{array}{ccc}
* & & \\
&\phantom{*} & \\
& &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad \left(
\begin{array}{ccc}
* & & \\
& * & \\
& &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccc}
* & & \\
& * & \\
& & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccc}
* & * & \\
* & * & \\
& &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccc}
* & * & \\
* & * & \\
& & * \\
\end{array}
\right)\quad
\left(
\begin{array}{ccc}
* & * & * \\
& * & * \\
& & * \\
\end{array}
\right) \quad
\left(
\begin{array}{ccc}
* & * & * \\
& * & * \\
& * & * \\
\end{array}
\right)
$$
$$
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & & \\
& * & & \\
& & * & \\
& & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & & \\
& * & & \\
& & * & *\\
& & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & & \\
* & * & & \\
& & * & *\\
& & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & & \\
* & * & & \\
& & * & * \\
& & * & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & *& \\
* & * & * & \\
* & * & * & \\
& & &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
$$ $$
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & * & \\
* & * & * & \\
* & * & * & \\
& & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & *& * \\
* & * & * & * \\
& & * & *\\
& & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & * & * \\
* & * & * & * \\
& & * & *\\
& & * & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & * & * \\
& * & * & * \\
& * & * & *\\
& * & * & * \\
\end{array}
\right)
\phantom{\quad
\left(
\begin{array}{cccc}
* & * & * & * \\
& * & * & * \\
& * & * & *\\
& * & * & * \\
\end{array}
\right)}$$
$$
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & & & \\
* & * & & & \\
& & * & & \\
& & & * & \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & & & \\
* & * & & & \\
& & * & * & \\
& & * & * & \\
& & & &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
& & &\phantom{*} & \\
& & & &\phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
& & & * & \\
& & & & \phantom{*} \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
& & & * & \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
$$ $$
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
& & & * & * \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
* & * & * & & \\
& & & * & * \\
& & & * & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
\phantom{*} & * & * & * & * \\
& * & * & * & *\\
& & * & * & * \\
& & & * & * \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & * \\
& * & * & * & *\\
& & * & * & * \\
& & & * & * \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
& & & & \phantom{*} \\
\end{array}
\right)
$$ $$
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
* & * & * & * & \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& & & & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & * \\
*& * & * & * & * \\
* & * & * & * & * \\
& & & * & * \\
& & & * & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
\phantom{*} & * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
\end{array}
\right)
\quad
\left(
\begin{array}{ccccc}
* & * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
& * & * & * & * \\
\end{array}
\right)
$$
Celui-ci donne un procédé algorithmique permettant, deux entiers $n$ et $d$ étant donnés,
de savoir s'il existe une sous-algèbre de $M_n(K)$ de dimension $d$ et, le cas échéant, d'en produire une explicitement.
Dans mon souvenir, la limitation $d \leq n^2-n+1$ n'est pas suffisante pour qu'une telle sous-algèbre existe
(mais cela ne se voit pas pour de petites valeurs de $n$).
Si l'on dispose d'un sous-espace $V$ de $M_n(K)$ de dimension $d$ et stable par multiplication, alors
$\mathrm{Vect}(I_n)+V$ est une sous-algèbre de dimension $d$ ou $d+1$.
En examinant les détails de l'article d'Abou-Jaoudé, on doit réussir à invalider votre conjecture par cet argument. Parallèlement, il est possible que l'algorithme d'Abou-Jaoudé puisse être adapté pour traiter le cas des sous-espaces stables par multiplication ne contenant pas nécessairement la matrice identité : il faudrait regarder les détails.
L'article en question s'appelle Sur la dimension d’une sous-algèbre de $M_n(K)$ et il se trouve dans le numéro 82 de Quadrature p.25-35.
Mais je n'arrive pas à mettre la main dessus sur le net... J'ai juste trouvé le lien vers l'algorithme, mais sans explications :
algorithme
Quelqu'un aurait-il cet article ?