Sev des matrices diagonalisables.

N'a-t-on pas $\mbox{max}\mathcal{A}_n=n$ ?

Mieux encore, on sait décrire tous les sous-espaces vectoriels de
matrices diagonalisables de $M_n(\C)$.

Zo !
La réponse est non :
considère le sous-espace engendré par les matrices
$A:=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}$ \quad et \quad $B:=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$.
En revanche, on sait montrer que tout sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$ de dimension
$n(n+1)/2$ entièrement constitué de matrices diagonalisables est conjugué
au sous-espace vectoriel des matrices symétriques :
voir http://arxiv.org/abs/1007.1983