Orthogonal en dimension infinie

gnoukgnouk0 · January 2011

Bonjour à tous

Si E est prehilbertien réel, si F est un sous-espace complet de E, alors F et son orthogonal sont supplémentaires. Réciproquement on peut juste dire que F est fermé.

J'ai cherché un exemple où F est fermé, avec F et son orthogonal non supplémentaires dans E, mais je sèche. Quelqu'un a-t-il une idée, svp ?

Par ailleurs si F et son orthogonal sont supplémentaires, alors F est égal à son bi-orthogonal. La réciproque est-elle vraie ? Encore une fois je ne vois ni démonstration ni contre-exemple.
Merci d'avance.
gnoukgnouk

remarque · January 2011

Pour la première question, tu peux prendre $E=C^0([-1,1])$ muni du produit scalaire $L^2$ et $F=\{u\in E;\int_0^1 u\,dx=0\}$.

gnoukgnouk0 · January 2011

Merci pour la réponse,

Ici F est visiblement un hyperplan, il faut donc montrer que son orthogonal est nul, je vais essayer

gnoukgnouk0 · January 2011

Je me suis inspiré de l'exemple pour fournir un contrexemple à mes deux questions

Je prends $E=C^0([-1,1])$ muni du produit scalaire usuel, et $F$ le sous-espace des fonctions de $E$ entierement nulles sur [0,1]

alors $F$ est fermé, son orthogonal $F^\perp$ est l'espace des fonctions de $E$ nulles sur $[-1,0]$

Ainsi $F^{\perp\perp}=F$, mais $F \oplus F^\perp$ est l'hyperplan des fonctions de $E$ nulles en zéro

.

remarque · January 2011

(tu)(tu)

Florent H. · January 2021

Bonjour,

Je déterre ce post : comment montrer que l'orthogonal de F est l'ensemble des fonctions nulles sur [-1,0] ?

Merci d'avance.

GaBuZoMeu · January 2021

Bonjour,

Si $f\in E$ est orthogonale au sous-espace des fonctions nulles sur $[0,1]$, elle est en particulier orthogonale à la fonction qui vaut $xf(x)$ pour $x\in [-1,0]$ et $0$ sur $[0,1]$.

Florent H. · January 2021

Bien vu, merci !

Orthogonal en dimension infinie

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