Trigonalisabilité et fermé
dans Algèbre
Bonjour,
J'ai montré que tout endormorphisme trigonalisable $u$ d'un espace vectoriel euclidien admet une matrice triangulaire dans une base orthonormale.
Je dois en déduire que l'ensemble des matrices trigonalisables est fermé dans $M_n (\mathbb{R})$.
Je sèche...
Je ne sais pas par où commencer. Une suite ? Montrer que le complémentaire est ouvert (difficile ?) ? Un résultats de cours que je ne vois pas ?
Cordialement.
J'ai montré que tout endormorphisme trigonalisable $u$ d'un espace vectoriel euclidien admet une matrice triangulaire dans une base orthonormale.
Je dois en déduire que l'ensemble des matrices trigonalisables est fermé dans $M_n (\mathbb{R})$.
Je sèche...
Je ne sais pas par où commencer. Une suite ? Montrer que le complémentaire est ouvert (difficile ?) ? Un résultats de cours que je ne vois pas ?
Cordialement.
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Réponses
* D'abord le résultat sur les matrices de rang inférieur ou égal à r n'a sans doute rien à voir avec ton problème : beaucoup de questions peuvent se posent sur la topologie de certains ensembles de matrices, certaines sans rapport avec les autres.
* Pour montrer qu'un ensemble est fermé, tu as essentiellement trois "méthodes" :
- Montrer que c'est le complémentaire d'un ouvert.
- Montrer que c'est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.
- Montrer qu'une suite d'éléments de l'ensemble, ayant une limite, a cette limite dans cet ensemble.
Il faut bien comprendre pourquoi ces trois définitions sont équivalentes (dans les espaces métriques mais j'imagine que tu ne connais pas la notion générale d'espace topologique) ; en guise d'exercice, prouve que [0;1] est fermé par les trois méthodes, puis montre l'équivalence en général (c'est très formateur).
* Dans ton problème, tu as montré un résultat de trigonalisation en base orthonormale ; donc le groupe orthogonal pourrait intervenir. Connais-tu une propriété bien utile de ce groupe ?
* Ici, comme souvent pour les petits problèmes pas trop abstraits, une démonstration par les suites semble indiquée.
Soit (Ln) suite de matrices trigonalisables, vues comme les matrices d'endomorphismes de Rn, muni d'un produit scalaire, ces matrices étant écrites dans une même base orthonormale.
Par ton résultat, il existe des matrices de passage (Pn) vers une base orthonormale telles que PnLnPn-1 soit triangulaire. Que dire des (Pn) ?
* Maintenant suppose que (Ln) -> L et tâche de montrer que L est trigonalisable.
Bon courage !
maeloumalo écrivait:
> J'ai montré que tout endormorphisme trigonalisable
> $u$ d'un espace vectoriel euclidien admet une
> matrice triangulaire dans une base orthonormale.
C'est vrai, ça? Comment tu l'as prouvé?
Gram-Schmidt devrait suffire puisque la matrice de passage d'une base quelconque à une base orthonormale construite par Gram-Schmidt est triangulaire supérieure par construction.
En effet, j'ai utilisé Gram-Schmidt pour la première partie de mon résultat, la matrice de passage obtenue étant triangulaire.
Un argument qui me manquait était la compacité du groupe orthogonal.
(Nous sommes en dimension finie. Il est borné (les endomorphismes sont unitaires) et fermé (image réciproque d'un fermé (singleton) par une application continue M->tMM)
Avec les notations proposées par cannibal-jack,
Je suppose par commodité et sans restriction que les matrices triangulaires sont triangulaires supérieures
$ D_{n}$ trigonalisable tend vers $A$
On a :
$D_{n} = L_{n}^{-1} T_{n} L_{n} $ avec $T_{n}$ triangulaire
La compacité du groupe orthogonal nous permet d'affrimer que de la suite $L_{n}$ (qui est une suite de matrices orthogonales) on peut extraire une sous-suite convergeant dans le groupe orthogonal. Soit $L$ cette limite.
La forme triangulaire de $A$ doit être $LAL^{-1}$
Je peine à conclure...
En effet, ce n'était pas très difficile.
Merci.
Soit $\varphi$ un tel endomorphisme. Il a au moins une valeur propre, donc au moins un vecteur propre $b_1$ que l'on peut bien supposer de norme $1$.
On pose $F_1=b_1^\perp$, on note $\pi_1:V\to F_1$ la projection orthogonale, et on note $\varphi_1$ l'endomorphisme $\pi_1\circ\varphi$ de $F_1$. Son polynôme caractéristique divise celui de $\varphi$, donc est scindé.
Par récurrence on trouve ainsi une base orthonormée $(b_1,\dots,b_n)$ de $V$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est triangulaire supérieure.
Ceci dit, il est plus facile de démontrer que le complémentaire des matrices trigonalisables est ouvert ... toujours en remarquant qu'un endomorphisme $\varphi$ n'est pas trigonalisable ssi son polynôme caractéristique $\chi_\varphi$ n'est pas scindé ... comme l'application $\varphi\mapsto\chi_\varphi$ de $End(V)$ dans $\mathbf{R}_n[X]$ est continue, et comme les polynômes non scindés forment un ouvert de cet espace, on a le résultat.
"les polynômes non scindés de $\mathbb{R}_{n}[X]$ forment un ouvert de $\mathbb{R}_{n}[X]$"
Après réflexion :
On prend les racines complexes du polynôme et le discriminant correspondant à un polynôme de degré 2 correspondant à deux racines complexes conjuguées choisies parmi les racines complexes.
Il faut montrer que le discriminant est strictement négatif, et que l'on peut faire varier légèrement les coefficients tout en gardant un discriminant négatif.
Il faudrait l'écrire rigoureusement mais cela ne me parait pas évident.
Cordialement
Le polynôme $P\in \R[X]$, de degré $n$, est scindé (sur $\R$) si et seulement si, pour tout $z\in \C$, $|P(z)| \geqslant |Im(z)|^n$.
Je vais regarder.
Je veux montrer que $n$ étant fixé non nul, l'ensemble des matrices de $M_n(\R)$ trigonalisables est fermé.
Soit $(A_k)$ une suite de matrices de $M_n(\R)$ trigonalisables ayant pour limite la matrice $A$.
On veut établir que $A$ est trigonalisable.
Soit $P_k$ le polynôme caractéristique de $A_k$ et $P$ celui de $A$.
Chaque $P_k$ est donc scindé.
Notons $E$ l'ensemble des applications polynomiales à coefficients réels de degré $\leq n$, avec une norme quelconque ($E$ est de dimension finie).
L'application $$\begin{cases}M_n(\R)&\to \ E\\M&\mapsto\ [z\mapsto X_M(z)]\end{cases}$$ est continue (elle est polynomiale en les coefficients de $M$),
donc $\lim_k P_k=P$.
Or d'après la caractérisation rappelée ci-dessus par Guego, : $$\forall z\in C, |P_k(z)|\geq|\Im(z)|^n
$$ Donc par passage à la limite quand $k\to+\infty$ : $$\forall z\in C, |P(z)|\geq|\Im(z)|^n
$$ Donc $P$ est scindé, donc $A$ est diagonalisable...
Tout ceci est-il correct ?
Merci !
A toutes fins utiles, je remonte mon précédent message....
À noter que la caractérisation rappelée ci-dessus par Guego est vraie seulement pour les polynômes unitaires. Comme on parle de polynômes caractéristiques la preuve de jp nl ne s'en trouve pas affectée.
Toutefois la preuve de jp nl prouve que l'ensemble des polynômes unitaires scindés de $\R[X]$ forment un fermé de $\R[X]$.
Mes questions sont donc les suivantes.
Le résultat (sur le sous-espace fermé) reste-t-il vrai
1) pour les polynômes non unitaires,
2) dans $\C[X]$,
3) dans $K[X]$.