Trigonalisabilité et fermé

Petites indications,

* D'abord le résultat sur les matrices de rang inférieur ou égal à r n'a sans doute rien à voir avec ton problème : beaucoup de questions peuvent se posent sur la topologie de certains ensembles de matrices, certaines sans rapport avec les autres.
* Pour montrer qu'un ensemble est fermé, tu as essentiellement trois "méthodes" :
- Montrer que c'est le complémentaire d'un ouvert.
- Montrer que c'est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.
- Montrer qu'une suite d'éléments de l'ensemble, ayant une limite, a cette limite dans cet ensemble.
Il faut bien comprendre pourquoi ces trois définitions sont équivalentes (dans les espaces métriques mais j'imagine que tu ne connais pas la notion générale d'espace topologique) ; en guise d'exercice, prouve que [0;1] est fermé par les trois méthodes, puis montre l'équivalence en général (c'est très formateur).

* Dans ton problème, tu as montré un résultat de trigonalisation en base orthonormale ; donc le groupe orthogonal pourrait intervenir. Connais-tu une propriété bien utile de ce groupe ?
* Ici, comme souvent pour les petits problèmes pas trop abstraits, une démonstration par les suites semble indiquée.
Soit (Ln) suite de matrices trigonalisables, vues comme les matrices d'endomorphismes de Rn, muni d'un produit scalaire, ces matrices étant écrites dans une même base orthonormale.
Par ton résultat, il existe des matrices de passage (Pn) vers une base orthonormale telles que PnLnPn-1 soit triangulaire. Que dire des (Pn) ?
* Maintenant suppose que (Ln) -> L et tâche de montrer que L est trigonalisable.

Bon courage !

Montre que la limite d'une suite de matrices trigonalisables est trigonalisable. Pour ça, sers toi de ce que tu as fais, et de la compacité du groupe orthogonal.

Oui, je pensais à ça, ou alors prendre un vecteur propre et regarder l'endomorphisme induit par projection sur l'orthogonal (qui est encore trigonalisable).

Un indice: que peux-tu dire de la limite d'une suite convergente de matrices triangulaires supérieures?

On n'a pas vraiment besoin de Gram-Schmidt : l'endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé.

Soit $\varphi$ un tel endomorphisme. Il a au moins une valeur propre, donc au moins un vecteur propre $b_1$ que l'on peut bien supposer de norme $1$.

On pose $F_1=b_1^\perp$, on note $\pi_1:V\to F_1$ la projection orthogonale, et on note $\varphi_1$ l'endomorphisme $\pi_1\circ\varphi$ de $F_1$. Son polynôme caractéristique divise celui de $\varphi$, donc est scindé.

Par récurrence on trouve ainsi une base orthonormée $(b_1,\dots,b_n)$ de $V$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est triangulaire supérieure.

Ceci dit, il est plus facile de démontrer que le complémentaire des matrices trigonalisables est ouvert ... toujours en remarquant qu'un endomorphisme $\varphi$ n'est pas trigonalisable ssi son polynôme caractéristique $\chi_\varphi$ n'est pas scindé ... comme l'application $\varphi\mapsto\chi_\varphi$ de $End(V)$ dans $\mathbf{R}_n[X]$ est continue, et comme les polynômes non scindés forment un ouvert de cet espace, on a le résultat.

On peut montrer que les polynômes scindés de $\R_n[X]$ forment un fermé de $\R_n[X]$ en utilisant la caractérisation suivante :

Le polynôme $P\in \R[X]$, de degré $n$, est scindé (sur $\R$) si et seulement si, pour tout $z\in \C$, $|P(z)| \geqslant |Im(z)|^n$.

Bonjour

Je veux montrer que $n$ étant fixé non nul, l'ensemble des matrices de $M_n(\R)$ trigonalisables est fermé.

Soit $(A_k)$ une suite de matrices de $M_n(\R)$ trigonalisables ayant pour limite la matrice $A$.
On veut établir que $A$ est trigonalisable.
Soit $P_k$ le polynôme caractéristique de $A_k$ et $P$ celui de $A$.
Chaque $P_k$ est donc scindé.
Notons $E$ l'ensemble des applications polynomiales à coefficients réels de degré $\leq n$, avec une norme quelconque ($E$ est de dimension finie).
L'application $$\begin{cases}M_n(\R)&\to \ E\\M&\mapsto\ [z\mapsto X_M(z)]\end{cases}$$ est continue (elle est polynomiale en les coefficients de $M$),
donc $\lim_k P_k=P$.
Or d'après la caractérisation rappelée ci-dessus par Guego, : $$\forall z\in C, |P_k(z)|\geq|\Im(z)|^n
$$ Donc par passage à la limite quand $k\to+\infty$ : $$\forall z\in C, |P(z)|\geq|\Im(z)|^n
$$ Donc $P$ est scindé, donc $A$ est diagonalisable...
Tout ceci est-il correct ?
Merci !

Oui c'est correct (si on remplace le dernier "diagonalisable" par "trigonalisable")/

Bonjour à tous, super post merci à tous.

À noter que la caractérisation rappelée ci-dessus par Guego est vraie seulement pour les polynômes unitaires. Comme on parle de polynômes caractéristiques la preuve de jp nl ne s'en trouve pas affectée.
Toutefois la preuve de jp nl prouve que l'ensemble des polynômes unitaires scindés de $\R[X]$ forment un fermé de $\R[X]$.
Mes questions sont donc les suivantes.
Le résultat (sur le sous-espace fermé) reste-t-il vrai
1) pour les polynômes non unitaires,
2) dans $\C[X]$,
3) dans $K[X]$.