Algorithme d'Ouragh-Ruffini
dans Algèbre
Bonjour tout le monde ,
je vous propose ici la technique qui consiste à effectuer une division euclidienne d'une fraction rationnelle An(x)/Bm(x) avec la particularité que Bm(x) est de type xm-A . J'insiste ici que la méthode que je présente n'est valable que si Bm(x) est de ce type . Le principe que je propose ressemble à celui urilisé par RUFFINI et par la SUITE par HORNER dans le cas d'une division euclidienne pour m=1 . Par conséquent on comprendra pour j'affirme que ma méthode généralise la méthode de RUFFINI-HORNER .
Donc soit à effecteur la division euclidienne
(anxn+an-1xn+1......a1x+a0)/(xm-A)
Il est connu qu'à lissu de cette division on obtiendrait
- le quotient qn-mxn-m+qn-m-1xn-m-1+......+q1x+q0
- et le reste de degré au plus égal à m-1 et dont de la forme rm-1xm-1+rm-2xm-2+....+r1x+r0
La question est : comment peut-on obtenir les inconnues qi et rj.
La techinique pour l'obtention de ces inconnues esr la suivante :
1) on commence par compléter le polynôme Am(x) dans le cas où tel monôme où tel monôme ne figure pas dans l'expression de Am(x) ; exemple pour x5+2x3-x+2 on telève les monômes en x2 et en x4 ne figurent pas ; donc j'écrirai ce polynôme sous la forme x5+0x4+2x3+0x2-x+2
2 ) on relève les coefficient du polynôme An(x) pour les inscrire en file indienne comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
3) on reporte sous ces nombres les m premier membres
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1
Ces dernier nombres représentent les m premiers coefficients du quotient
4) le prochain coefficient du quotient aura pour expression k1=Aan+an-m
valeur que l'on portera sous le nombre an-m comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 ..k1
5) le calcule du prochain coefficient du quotient s'obtient comme suite
k2=Aan-1+an-m-1
valeur que l'on posera sous le coefficient an-m comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 ..k1...........k2
Ce procédé est à répéter pour le calcul des autres coefficients du quotient : à chaque case qu'on veut remplir on multiplie la coefficient de Am(x) situé à une portée égale à m de la case à remplir par A et ajouter le coefficient de Am(x) situé sur cette colonne .
A ritre d'exemple effectuons la division euclidienne de la fraction suivante :
( 2x14-x12+3x11-x8+6x5-2x4+x3-5x2+3x-8)/(x4-2)
Solution
On a ici A=2 er en complétons le dividende on aura :
2.......0........-1.......3.......0.......0.......-1........0.......0......6.......-2.......1.......-5.......3........8
2.......0....... -1.......3.......4.......0........-3.......6.......8......6........-8......13......11.....15.....-8
Ainsi donc on obtient le résultat suivant :
quotient = 2x10-x8+3x7+4x6-3x4+6x3+8x2+6x-8
et le reste = 13x3+11x2+15x-8
Ainsi s'achève cette division euclidienne. On notera que la complexité de cet algodithme pour ce cas précis peut se résumé en 22 opérations élémentaires : 11 multiplication et 11 additions . Par conséquent j'affirme qu'aucun procédé connu à ce jour ne peut concurrencer ma technique . J'espère que tout le monde devrait l'accepter ? Cette technique je l'ai nommé méthode d'O.R abréviation de OURAGH-RUFFINI
Merci pour votre lecture .
Cordialement .
N.B. : Prenez la peine de vérifier cette technique sur la base d'exemples de mêmes types ou en utilisant des logiciels conçus pour cela . Pour vous tous je vous promets que je déballerais ma technique tôt ou tard et chacun verra qu'effectuer la division euclidienne ou la division selon les puissances croissantes ne vous posera plus de problèmes . Vous arriverez même à effectuer des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles avec une facilité qui vous donnera envie d'en exécuter d'autres décompositions !!!!!!!
[Bonjour Ouragh1951. Cette intervention n'ayant que peu à voir avec le sujet initial de niveau CE2, j'en fais une discussion à part entière. Bruno]
je vous propose ici la technique qui consiste à effectuer une division euclidienne d'une fraction rationnelle An(x)/Bm(x) avec la particularité que Bm(x) est de type xm-A . J'insiste ici que la méthode que je présente n'est valable que si Bm(x) est de ce type . Le principe que je propose ressemble à celui urilisé par RUFFINI et par la SUITE par HORNER dans le cas d'une division euclidienne pour m=1 . Par conséquent on comprendra pour j'affirme que ma méthode généralise la méthode de RUFFINI-HORNER .
Donc soit à effecteur la division euclidienne
(anxn+an-1xn+1......a1x+a0)/(xm-A)
Il est connu qu'à lissu de cette division on obtiendrait
- le quotient qn-mxn-m+qn-m-1xn-m-1+......+q1x+q0
- et le reste de degré au plus égal à m-1 et dont de la forme rm-1xm-1+rm-2xm-2+....+r1x+r0
La question est : comment peut-on obtenir les inconnues qi et rj.
La techinique pour l'obtention de ces inconnues esr la suivante :
1) on commence par compléter le polynôme Am(x) dans le cas où tel monôme où tel monôme ne figure pas dans l'expression de Am(x) ; exemple pour x5+2x3-x+2 on telève les monômes en x2 et en x4 ne figurent pas ; donc j'écrirai ce polynôme sous la forme x5+0x4+2x3+0x2-x+2
2 ) on relève les coefficient du polynôme An(x) pour les inscrire en file indienne comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
3) on reporte sous ces nombres les m premier membres
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1
Ces dernier nombres représentent les m premiers coefficients du quotient
4) le prochain coefficient du quotient aura pour expression k1=Aan+an-m
valeur que l'on portera sous le nombre an-m comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 ..k1
5) le calcule du prochain coefficient du quotient s'obtient comme suite
k2=Aan-1+an-m-1
valeur que l'on posera sous le coefficient an-m comme suite
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 an-m .... an-m-1 ..................... a2 .... a1.... a0
an ...... an-1.... an-2 ............. an-m+1 ..k1...........k2
Ce procédé est à répéter pour le calcul des autres coefficients du quotient : à chaque case qu'on veut remplir on multiplie la coefficient de Am(x) situé à une portée égale à m de la case à remplir par A et ajouter le coefficient de Am(x) situé sur cette colonne .
A ritre d'exemple effectuons la division euclidienne de la fraction suivante :
( 2x14-x12+3x11-x8+6x5-2x4+x3-5x2+3x-8)/(x4-2)
Solution
On a ici A=2 er en complétons le dividende on aura :
2.......0........-1.......3.......0.......0.......-1........0.......0......6.......-2.......1.......-5.......3........8
2.......0....... -1.......3.......4.......0........-3.......6.......8......6........-8......13......11.....15.....-8
Ainsi donc on obtient le résultat suivant :
quotient = 2x10-x8+3x7+4x6-3x4+6x3+8x2+6x-8
et le reste = 13x3+11x2+15x-8
Ainsi s'achève cette division euclidienne. On notera que la complexité de cet algodithme pour ce cas précis peut se résumé en 22 opérations élémentaires : 11 multiplication et 11 additions . Par conséquent j'affirme qu'aucun procédé connu à ce jour ne peut concurrencer ma technique . J'espère que tout le monde devrait l'accepter ? Cette technique je l'ai nommé méthode d'O.R abréviation de OURAGH-RUFFINI
Merci pour votre lecture .
Cordialement .
N.B. : Prenez la peine de vérifier cette technique sur la base d'exemples de mêmes types ou en utilisant des logiciels conçus pour cela . Pour vous tous je vous promets que je déballerais ma technique tôt ou tard et chacun verra qu'effectuer la division euclidienne ou la division selon les puissances croissantes ne vous posera plus de problèmes . Vous arriverez même à effectuer des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles avec une facilité qui vous donnera envie d'en exécuter d'autres décompositions !!!!!!!
[Bonjour Ouragh1951. Cette intervention n'ayant que peu à voir avec le sujet initial de niveau CE2, j'en fais une discussion à part entière. Bruno]
Réponses
-
Bonjour Ouragh1951.Quand tu écris : a écrit:... Bruno , et tous ceux qui m'ont fusillés lors de ma première intervention sur ce site...
Tu te laisse aller à je ne sais quelle impulsion. Si tu relis correctement mon intervention, elle ne te concerne même pas. Voir ici et là. J'ai vraiment un fusil à tirer dans les coins. Cette fois, pas de message privé, j'en prends tous les forumeurs à témoin.
Bruno -
Mon cher Ouragh,
Tu tends les verges pour te faire battre.On notera que la complexité de cet algodithme pour ce cas précis peut se résumé en 22 opérations élémentaires : 11 multiplication et 11 additions . Par conséquent j'affirme qu'aucun procédé connu à ce jour ne peut concurrencer ma technique .
Crackpot index : 3 points pour chaque assertion logiquement incohérente.Cette technique je l'ai nommé méthode d'O.R abréviation de OURAGH-RUFFINI
Crackpot index : 20 points pour donner son propre nom à quelque chose (par exemple, parler de « l'équation de champ d'Evans » quand il se trouve qu'on s'appelle Evans).RUFFINI (...) SUITE (...) HORNER (...) RUFFINI-HORNER (...) OURAGH-RUFFINI
Crackpot index : 5 points pour chaque mot entièrement en majuscules (sauf pour ceux équipés d'un clavier défectueux).une fois cela fait inviter MM Gerardo , remarque , Bruno , et tous ceux qui m'ont fusillés lors de ma première intervention sur ce site
Crackpot index : 20 points pour la défense consistant à mettre en avant le ridicule (réel ou imaginaire) dont ses théories passées ont été accablées.
Même avec le crédit initial de -5 points, ça commence à chiffrer. Et encore, tu nous a épargné le couplet sur depuis combien de temps tu travailles seul là-dessus...
Sinon, sur le fond. Déjà, je n'aimais pas faire des décompositions en éléments simples quand il fallait en faire en exercice. Beurk (opinion toute personnelle certes). Heureusement, cela ne m'arrive plus jamais, parce que finalement, eh, c'est pas si important que ça la décomposition en éléments simples. Donc que ton algorithme soit 1. correct, 2. original, 3. plus performant que les autres, soient des assertions vraies ou non, cela m'est profondément indifférent. Plus exactement, je pense que cela n'a aucune importance réelle. Je comprends bien que pour toi, c'est au contraire extrêmement important. Sans trop d'illusions, je te conseillerais de te faire à l'idée que tu es probablement bien seul...
Sans rancune. -
Salut Ouragh1951,
1)Ouragh1951 a écrit:Cette technique je l'ai nommé méthode d'O.R abréviation de OURAGH-RUFFINI
Ce n'est pas la modestie qui t'étouffe.
2)Ouragh 1951 a écrit:J'insiste ici que la méthode que je présente n'est valable que si Bm(x) est de ce type
et donc d'intérêt TRES TRES TRES limité.
3)Ouragh 1951 a écrit:On notera que la complexité de cet algodithme pour ce cas précis peut se résumé en 22 opérations élémentaires : 11 multiplication et 11 additions .
Ce qui prouve que tu ne sais même pas ce qu'est la complexité d'un algorithme. Et ça m'étonnerait fort que ton algorithme fasse mieux que l'algorithme d'Euclide, vu que c'est le même mais en déguisé.
4)Ouragh 1951 a écrit:. Pour vous tous je vous promets que je déballerais ma technique tôt ou tard er chacun verra qu'effectuer la division euclidienne ou la division selon les puissances croissantes ne vous posera plus de problèmes . Vous arriverez même à effectuer des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles avec une facilité qui vous donnera envie d'en exécuter d'autres décompositions !!!!!!!
Inutile de te dire qu'on est tous très impatients de voir ça... -
Bonjour.
Tout d'abord bravo à Remarque pour son superbe exposé. j'en approuve toutes les lignes.
Ensuite, puisque je suis personnellement interpellé, je rappelle ce sujet fraction rationnelle en éléments simples
avec l'affirmation :
et je lis dans le présent fil :Ouragh1951 a écrit:Mais j'affirme que décomposer par exemple
( x^11-2x^9+x^8-x^7-x^6+3x^5+2x^4-x^2+4x-13 ) / (( x^2-x+2 )^4)
en moins de cinq minutes ne peut se faire que par la méthode dOR
Donc soit c'est une autre méthode que celle dont j'attendais autrefois l'exposé, donc ma critique précédente était justifiée, soit c'était la même, et Ouragh trichait autrefois.Ouragh1951 a écrit:avec la particularité que Bm(x) est de type xm-A . J'insiste ici que la méthode que je présente n'est valable que si Bm(x) est de ce type .
Mais je me contenterai désormais de suivre Remarque :
Merci Remarque de l'avoir si bien dit.Donc que ton algorithme soit 1. correct, 2. original, 3. plus performant que les autres, soient des assertions vraies ou non, cela m'est profondément indifférent. Plus exactement, je pense que cela n'a aucune importance réelle.
Cordialement. -
C'est sur, le "truc" ne dépasse pas le niveau d'un exo basique de premier cycle...
Eric -
Bonjour M. OURAGH1951,
indépendemment des positions des uns et des autres et même si vous avez forcé la dose pour ce que je considère pas très très grave , je souhaite comme (j'en suis certains) plusieurs Forumeurs les détails que vous affirmez pouvoir développer et j'espère lors de votre future intervention ( ceci devrait s'adresser à tout forumeur normalement ) pour que la sérénité et surtout les mathématiques soient propres dans de telles discussions .
Merci. -
Bonjour Habdi1 ,
je vous présente mes excuses à vous et à tous les forumeurs et en particuliers à MM. Bruno et à GERARDO pour les dépassements que j'ai fait . Pour me tenir aux seuls questions de marthématiques j'espère que ceux qui avez porté certains jugement à mon encontre voudront bien corrigé leurs textes et les incidents en ce qui me concerne seront clos. D'ailleur je vais de ce pas corrigé mon premier texte ( puisque j'ai la possibilité heureusement pour moi ! ) .
Cordialement -
Ouragh / habdi, tu sais que tu n'es pas le premier loin de là, à te faire passer pour quelqu'un d'autre dans le but de donner du poids / soutient à tes affirmations (parce qu'évidemment c'est très facile à constater...).
Ca ne fera que te discréditer un peu plus. Tu aurais présenté tes calculs avec un peu plus d'humilité que tu n'en serais pas là.
Eric -
MM. les Forumeurs ,
je tiens à préciser un point important : la méthode que je proposerai n'est en réalité qu'un algorithme de même type que ceux proposés par Ruffini et Horner mais plus général puisqu'il permet d'effectuer la division euclidienne avec pour diviseur un polynôme de degré m différent de 1 comme l'ont fait Ruffini et Horner . Si la communauté scientifique déclare que leurs algorithmes sont des formes déguisées de celui d'Euclide, je serait le premier à le faire pour mon algorithme . Je dit MOM et j'espère qu'on me pardonnera ( je m'adresse ici en particulier à M. Eric Chopin ) pour mon manque de modestie et ce du fait d'avoir établit cet algorithme . Je suis peut être sous le contrainte de la joie dont je souhaite que chacun sera touché par cette joie et je suis persuadé qu'on me comprendra peut être mieux . D'ailleurs la preuve que cette intensité se réduit dans le temps est le fait que je commence à transmettre les premières règles de cette méthode. En attendant je rappelle ce que je peu faire avec mon algorithme par des voies beaucoup plus simples et plus rapides que les méthodes les plus préconisées à ce jour à savoir la méthode de la division euclidienne longue et la méthode la division selon les puissances croissantes :
1) Pn(x)/Qm(x) pour n>=m;
2) Décompositions en éléments simples de fractions rationnelles et en particulier dans certaines situations ;
3) Une généralisation de la méthode BAIRSTOW pour la résolution numérique de Pn(x)=0
Ce sont là les principaux sujet où l'algorithme d'O.R. peut apporter une contribution
Cordialement. -
1) Manque de bol, on s'arrange en général pour avoir $n<m$, c'est le cas intéressant.
2) Pour le cas où le dénominateur est $X^m-a$, et c'est le seul cas que tu traites, pas besoin de division . Les pôles complexes sont simples. -
Non , non et non .Je rappelle que la méthode d'O.R donne aussi et avec quelle facilité le résultat de la division de fraction rationnelle selon les puissances croissantes . C'est ce que je vous conseil de préconiser à autrui dans le futur . D'ailleurs c'est le point 2 de ma dernière intervention . Par exemple pour la fraction
(5x4+8x-6)/(3x7+4x6-2x4+x3-5x2+2x+1)
je vous garanti que j'exécuterai la division selon les puissances croissantes jusqu'à l'ordre 6 ( et donc comme certains disent et apparemment les préfèrent !) en moins de 4 minutes avec la méthode d'OR. Et que personne ne devra s'avancer à dire que par la méthode classique que cela est faisable car j'en suis certain que tout forumeur dira que cela est impossible et on est en train de dire n'importe quoi!!!!! -
Bof, tu retombes dans tes anciens travers...tu brasses du vent sans nous donner ta fameuse méthode.
Comme je l'ai dit dans un fil précédent, tant que ça continuera comme ça, tu auras une crédibilité de 0% en ce qui me concerne. -
En effet, du vent toujours du vent.
Arretons le courant d'air...
eric
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