Polynômes en plusieurs indéterminées
Bonjour.
Si l'on se place dans $K[X_1,\ldots,X_n]$ on peut faire la division d'un polynôme par un autre en les considérant dans $K[X_1,\ldots,X_{n-1}][X_n]$ par exemple.
Est-ce une division euclidienne ? L'application qui à tout polynôme $P$ associe son degré partiel en $X_n$ est elle un stathme ? Y a-t-il de "vraies" divisions euclidiennes dans $K[X_1,\ldots,X_n]$ ?
Je pose cette question car dans le livre de Ramis Algèbre 1 le paragraphe commence par dire que "dans l'algèbre $K[X_1,\ldots,X_n]$ on ne dispose pas de division euclidienne [...] . La seule division euclidienne dont on dispose est [celle que je décris ci-dessus]." Je suis perplexe.
Merci,
fanf
Si l'on se place dans $K[X_1,\ldots,X_n]$ on peut faire la division d'un polynôme par un autre en les considérant dans $K[X_1,\ldots,X_{n-1}][X_n]$ par exemple.
Est-ce une division euclidienne ? L'application qui à tout polynôme $P$ associe son degré partiel en $X_n$ est elle un stathme ? Y a-t-il de "vraies" divisions euclidiennes dans $K[X_1,\ldots,X_n]$ ?
Je pose cette question car dans le livre de Ramis Algèbre 1 le paragraphe commence par dire que "dans l'algèbre $K[X_1,\ldots,X_n]$ on ne dispose pas de division euclidienne [...] . La seule division euclidienne dont on dispose est [celle que je décris ci-dessus]." Je suis perplexe.
Merci,
fanf
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si $K[X]$ est un anneau de polynômes à une indéterminée, muni d'une division euclidienne, alors $K$ est un corps car tout polynôme de degré $0$ est inversible. Comme $K[X_1,...X_{n-1}]$ est un anneau de polynôme à $n-1$ indéterminées, si $n \neq 1$ ce n'est pas un corps. donc il n'y a pas de division euclidienne. Il n'en reste pas moins que l'on peut diviser tout polynôme de $K[X_1,...X_{n-1}][X_n]$ par un polynôme du même anneau dont le coefficient dominant est inversible me semble-t-il.
Bruno
fanf
Alors on peut faire la division euclidienne de $P$ par $Q$ du moment que le coefficient dominant de $Q$ soit inversible dans $A$. Pour calculer le quotient et le reste, on pose la division de la façon habituelle.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
La division euclidienne classique de $P$ par $Q$ n'est pas possible si le coefficient dominant de $Q$ n'est pas inversible (ce qui peut arriver si $A$ n'est pas un corps).
Exemple. Soient $P,Q\in \Z[X]$. On peut faire la division euclidienne classique de $P$ par $Q$ ssi $Q$ ou $-Q$ est unitaire.
Merci encore pour votre aide,
fanf
C'est évidemment une division de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif, que tu trouves exposée dans le même tome I du Ramis...(chapitre polynômes). Ici, on a des polynômes en X_n à coefficients dans K[X_1, ...., X_n-1)].
Par exemple, dans un anneau où a n'est pas inversible, que donne la division du polynome constant X+1 par aX?
Ce serait censé donner un résultat du genre X+1 = Q(X)(aX) + r et donc on aurait r=1 et aQ(X)X=X
donc tous les coef de Q(X) sont des "annulateurs" de a (ie a fois eux=0) sauf peut-être le terme constant qui est alors un inverse de a.
fanf
Pour voir en live ce que cela donne, il suffit de tenter la division de $X^2 - 1$ par $2X$ dans $\Z[X]$ .
Pour fanf, la réponse d'Archimède et la mienne ne sont absolument pas contradictoire, simplement Archimède a élevé un peu plus le débat alors que je suis resté dans le cadre strict que tu avais posé.
Bruno
qui semblait contenir tellement plus que la réponse à la question, bien que connu...
Je suis pas sûr que tout le monde (à part les élèves vraiment studieux et appliqués) pense à ça en énonçant "A[X] principal => A est un corps"
Or, à vue de nez, ça ne me parait pas spécialement simple de prouver [A[X] vérifie *** => A est un corps] et il faudrait surement un papier et un crayon
On a donc $(a) + (X)=(P)$
Tu montre déjà que $P \in A$ (question de degré) puis $P$ est inversible car il existe $Q \in A[X]$ tel que $QP=X$
Enfin il existe $U, V \in A[X]$ tels que $aU+VX=P$ et alors là tu en déduis que $a|P$. Alors a divise un inversible, il est donc inversible.
Bin pas grand chose concernant ce genre de choses en tout cas
(mais les degrés et les anneaux A[X] généraux, je me méfie, y a pas de croissante du degré par la multiplication, etc, sinon, ce serait simple)
T'es sûr qu'il suppose pas que A est integre?
Je suis d'accord que P peut s'écrire QX + a si on veut, mais faire que Q=0 hum hum... En tout cas, les calculs me font trop mal au crane, mais je reste sceptique face aux degrés avec des anneaux pas integres..
pourquoi l'anneau suivant n'existerait pas par exemple:
$a\neq 0$,
$(dX+e)(bX+a) = a$
$(uX+v)(bX+a) = X$
Il suffit pour ça que ea=a; bd=0; eb+ad=0 ; av =0 ; ub =0 ; au + vb = 1 ; av=0
Et on aurait bien que (bX + a) = (X) + (a)
Evidemment si ton anneau A[X] n'est pas intègre aucune chance pour que A soit un corps.
Mais la question que je posais (un corps étant intègre) est : existe-t-il des anneaux tels que A n'est pas un corps, mais dont tous les idéaux de A[X] sont principaux (il ne suffit pas de dire que si A[X] n'est pas intègre blabla car peut-être alors certains idéaux de A[X] ne sont-ils pas principaux )
Mais trouver un anneau dont tous les idéaux seraient principaux mais qui ne serait pas intègre, faudrait réfléchir...
$\Z/mn\Z$
Alain
Je répondais à Blueberry : $\Z/mn\Z$ est un anneau non intègre, dont tous les idéaux sont principaux.
Alain
edit : Bon j'arrête de répondre, le temps de rédiger un (court) message, tu en as déjà posté (et raturé) 3 !
Alain
Je pense que s'il y a des contre-exemples ils doivent être connus parce que la question peut qu'avoir été souvent posée à moult occasions (pardon Gérard pour l'adverbe moult)
L'intégrité semble un ingrédient vraiment essentiel dans le résultat classique, car le degré d'un produit est alors obligatoirement la somme des degrés.
[size=x-small]Quand c'est integre, on peut écrire si PQ=X et PR =a, alors $deg(P)\leq 0$. Du coup wlog, on prend un scalaire $b$ tel que Qb=X et bR=a, et idem R est un scalaire. donc on peut écrire cb =a . Ensuite Q doit s'écrire obligatoirement dX+e et donc (dX+e)b=X, ce qui entraine db = 1 et eb =0, donc e=edb=ebd=0. Comme b = UX + Va, En écivant U sous la forme WX+i, b=(WX+i)X + Va et donc on obtient b=va pour un certain scalire (sans parler de degré d'ailleurs) et donc dva=1[/size]
(ea=a; bd=0; eb+ad=0 ; av =0 ; ub =0 ; au + vb = 1 ) => bv =0 ?
Je rappelle la question pour qu'il n'ait pas à lire tout: soit A un anneau (quelconque et pas forcément integre donc!) tel que dans A[X] tout ideal est principal. A est-il forcément un corps?
Soit $B$ et $C$ deux anneaux commutatifs unitaires.
Si tout idéal de $B$ est principal et tout idéal de $C$ est principal, alors tout idéal
de l'anneau produit $B \times C$ est principal (exercice facile).
En particulier, pour $A=\mathbb{F}_2 \times \mathbb{F}_2$,
tout idéal de $A[X] \simeq \mathbb{F}_2[X] \times \mathbb{F}_2[X]$ est principal, bien que
$A$ ne soit pas un corps.
Soit A et B deux anneaux dont les idéaux sont tous principaux. Soit J un idéal de A×B.
Soit K l'ensemble des $x\in A$ tel que $(x,0)\in J$ et L l'ensemble des $y\in B$ tel que $(0,y)\in J$. Ce sont des idéaux de A et B respectivement. Soit a,b des générateurs respectifs de K,L. Déjà, $(a,b) = (a,0) + (0,b)\in J$ donc $(a,b)\in J$
Ensuite, soit $(x,y)\in J$. Comme $(x,0) = (x,y)\times (1,0)$, forcément $x\in K$ et $y\in L$ pour la même raison. Donc il existe $u,v$ respectivement dans A et B tels que $x=au$ et $y=bv$. Il s'ensuit que $(x,y) = (u,v).(a,b)$, ce qui montre que $(a,b)$ est un générateur de $J$
Donc sauf erreur exo démontré.
Ses élements sont des couples de polynomes. Mais un couple de polynomes à coefficients dans $\R$ peut-être "vu" comme un polynome à coefficients des couples de réels. Est-ce que ça passe bien à toutes les opérations, dSP le dit, mais moi je vais devoir réfléchir un peu ça, c'est sûr lol... La somme oui ça a l'air, le produit oui, ça a l'air, bin voui, ça a l'air de bien marcher, donc M est effectivement isomorphe à l'anneau $(\R\times \R) [X]$, dont tous les idéaux sont donc principaux...
Mais je ne suis pas sadique... alors je vais la poser dans un autre fil...
Un théorème célèbre dit que tous les anneaux artiniens sont noethériens (et c'est CE théorème uniquement qui a fait que j'ai parfois regardé les "géomètres algébristes" avec envie, parce que je trouve vraiment marrant ce genre de théorème (et vraiment général).
(noethérien, c'est l'autre sens, pas de suites strictement croissante)
L'exemple de dSP montre qu'effectivement les produits finis de corps sont des exceptions (à la question d'avant), mais on voit (à postériori, une fois qu'il l'a dit ) pourquoi. D'ailleurs, il se trouve que les anneaux artiniens integres sont forcément des corps. Donc peut-être a-t-on un énoncé particulier "académique" et peu sexy qui serait la partie visible d'un plus gros iceberg, à savoir la réponse "oui" à la question du post précédent. En tout cas, je trouve que si c'est oui, c'est beau et ça donne envie de faire de l'algèbre commutative.
Il suffit donc de prouver que A est noethérien.
Or un idéal J de A, engendre un idéal J' dans A[X] qui est principal, ie dont un générateur est P somme des $a_iX^i$ disons.
Je pense que $a_0$ est un générateur de J. Soit en effet, $b\in J$ et $Q$ un polynome tel que $QP = b$. bin, le produit de coefs constants de Q et P montre que $b$ est un multiple de $a_0$ et il suffit de prouver que $a_0\in J$, or c'est presque évident (les éléments de J' sont des sommes de produits de la forme polynome fois elt de J, donc en particulier P
Ainsi on a que tous les idéaux de A eux-mêmes sont principaux, donc A est noethérien, et par un théorème célèbre*, A est donc artinien
* En fait, un anneau noethérien dont tous les idéaux premiers sont maximaux est un anneau artinien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,509794,510273#msg-510273
Donc c'est bien vrai, si tous les idéaux de A[X] sont principaux alors A est artinien (sous réserve de **)