Racines de l'unité
Bonjour
Pourriez-vous m'aider à montrer le résultat suivant ?
Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des racines de l'unité sur $\C$. On suppose que $z=\frac 1 n (\lambda_1+\dots+\lambda_n)$ est un entier algébrique. Alors tous les conjugués de $z$ (i.e. les autres racines du polynôme minimal de $z$) sont de la forme $\frac 1 n (\lambda'_1+\dots+\lambda'_n)$ avec les $\lambda'_i$ des racines de l'unité.
Ce résultat est utile dans la démonstration de la résolubilité des groupes d'ordre $p^\alpha q^\beta$ que l'on trouve dans le polycopié de Serre, mais il est affirmé dans un lemme de ce dernier et je ne vois pas comment le démontrer.
Merci
Pourriez-vous m'aider à montrer le résultat suivant ?
Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des racines de l'unité sur $\C$. On suppose que $z=\frac 1 n (\lambda_1+\dots+\lambda_n)$ est un entier algébrique. Alors tous les conjugués de $z$ (i.e. les autres racines du polynôme minimal de $z$) sont de la forme $\frac 1 n (\lambda'_1+\dots+\lambda'_n)$ avec les $\lambda'_i$ des racines de l'unité.
Ce résultat est utile dans la démonstration de la résolubilité des groupes d'ordre $p^\alpha q^\beta$ que l'on trouve dans le polycopié de Serre, mais il est affirmé dans un lemme de ce dernier et je ne vois pas comment le démontrer.
Merci
Réponses
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Quelle tête a l'image de $z$ par un automorphisme de $\C$ sur $\Q$ ?
[size=x-small]Dis-moi si tu arrives à faire tenir la résolubilité des groupes d'ordre $p^\alpha q^\beta$ dans un développement de 15 minutes sans tout glisser sous le tapis.[/size] -
Ah oui il s'agit du lien entre les extensions des deux racines de meme polynome minimal ? On a donc un automorphisme comme tu le précises? J'ai tapé le Developpement en latex en admettant qq petits trucs dont ceci. Si ça t'interesse. As tu d'autres idées de Developpements sur les representations (et des références si possible !)?
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Pour quelle leçon? Il n'y en a pas qu'une sur les représentations, et les développements pour l'une ne conviennent pas forcément pour l'autre. J'ai donné quelques indications ici que je ne vais pas répéter.
Pour la résolubilité des groupes d'ordre $ p^\alpha q^\beta$ , je te remercie mais j'ai déjà mes notes du cours de Serre, ça me va. Ce que je voulais dire, c'est que ça me paraît un peu gros et pas mal casse-gueule. Je ne le conseillerais pas aux agrégatifs. Enfin, si tu le sens bien... Teste tout de même au tableau et sans notes, si possible avec un public. -
Merci pour les conseils. je l'ai testé, le plus difficile est de savoir ce qu'on peut admettre vu la nouveauté du sujet, et de toute façon il faut tout savoir démontrer pour avoir l'esprit tranquille. Ce que je demandais c'est une idée de Developpements pour la Lecon sur les exemples, je n'ai aucune idee par exemple de la maniere dont on procede pour etablir les tables de caracteres des groupes de permutation ou alterné, ni si c'est suffisant pour un developpement.(j'ai reussi à le faire pour le groupe diedral D8 mais c'est tout! )Merci pour le fil que tu m'as indiqué. Le probleme c'est qu'il n'y a pas de références. Et je n'ai pas trouvé grand choses dans ma bibliothèque.
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Il n'y a pas de références ? Tu n'as pas beaucoup cherché dans ce fil, ici par exemple.
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merci!
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Désolé Bu(et les autres!) je reviens à la charge!
Dans le premier message je cherchais pourquoi les conjugués de $z=\frac 1 n (\lambda_1+\dots+\lambda_n)$ sont les $\frac 1 n (\lambda'_1+\dots+\lambda'_n)$. J'avais cru comprendre mais en fait, il y a un passage qui m'embête encore. Un conjugué de $z=\frac 1 n (\lambda_1+\dots+\lambda_n)$ est donc l'images par un $\Q$-isomorphisme, appelons-le $\phi$, de cet élément $z$. Ainsi, il s'écrit $\phi(z)=\frac 1 n (\phi(\lambda_1)+\dots+\phi(\lambda_n))$. Mais alors, pourquoi $\phi(\lambda_i)$ est une racine de l'unité ? -
Combien vaut \(\bigl(\phi(\lambda_i)\bigr)^k\)~?
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Si $\lambda^m=1$, que vaut $\phi(\lambda)^m$?
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Merci à tous les deux de répondre : oui j'ai bien pensé à ceci Mais $\phi$ est un morphisme d'espaces vectoriels non ?
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Une application $\Q$ linéaire... C'est un morphisme d'anneaux aussi ?
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Non, tu fais de la théorie des extensions de corps ici, donc tu considères des morphismes d'extensions, i.e. des morphismes de $\Q$-algèbres (ou si tu préfères un morphisme d'anneaux $\Q$-linéaire).
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Ah oui désolé j'avais mal relu mon cours, désolé du dérangement faut que je fasse une pause moi !
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Bonjour!
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