représentation de S4
Bonjour,
Savez-vous comment obtenir la table des caractères de $\mathfrak S_4$ une fois qu'on a établi que $\mathfrak S_4$ est isomorphe au groupe des isométries directes du cube ? (je sais le faire sans avoir recours à cet isomorphisme mais j'aimerais savoir si on peut le faire ainsi...) Je sais qu'il y a 5 caractères irréductibles : l'identité, la signature, une représentation de degré 2, deux représentations de degré 3.
Merci,
fanf
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Savez-vous comment obtenir la table des caractères de $\mathfrak S_4$ une fois qu'on a établi que $\mathfrak S_4$ est isomorphe au groupe des isométries directes du cube ? (je sais le faire sans avoir recours à cet isomorphisme mais j'aimerais savoir si on peut le faire ainsi...) Je sais qu'il y a 5 caractères irréductibles : l'identité, la signature, une représentation de degré 2, deux représentations de degré 3.
Merci,
fanf
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Réponses
Ga l'a dit. La trace d'une matrice de permutation est le nombre de ses points fixes.
Merci !
eric
Tu sais que $\mathfrak{S_4}$ est le groupe des rotations du cube : en voici une belle représentation, qui arrive dans $SO_3$ ! Et tu sais sans doute exprimer la trace d'une matrice de rotation en fonction de l'angle de rotation ?
Tu sais (peut-être) que $\mathfrak{S_4}$ est le groupe des isométries du tétraèdre régulier : voila une autre belle représentation, qui arrive cette fois-ci dans $O_3$ ! Calculer la trace d'une symétrie par rapport à un plan, ça ne devrait pas te poser trop de problèmes.
Tu sais aussi que $\mathfrak{S_4}$ se représente par des matrices de permutation; ça fait une représentation de dimension 4. Quand on enlève de cette représentation la représentation triviale, on a la représentation standard, de dimension 3. Peux-tu la comparer avec une des précédentes? Si on veut voir ça géométriquement, on peut faire agir le groupe des rotations du cube sur l'ensemble des quatre grandes diagonales, ou le groupe des isométries du tétraèdre sur l'ensemble de ses quatre sommets.
Tu sais aussi que $\mathfrak{S_4}$, comme groupe de rotations du cube, agit par permutations sur l'ensemble des 3 axes de coordonnées (les axes qui joignent les milieux des faces opposées). Ca nous fait une représentation de permutation de dimension 3. Quand on enlève la représentation triviale, il reste une représentation de dimension 2.
Enfin, pour mémoire, on a toujours la représentation triviale. Et aussi la représentation donnée par la signature, qui est également de dimension 1 (si on insiste pour voir cette dernière géométriquement, on peut faire agir le groupe des rotations du cube sur l'ensemble des deux tétraèdres réguliers inscrits dans le cube).
Cette vision géométrique peut bien aider à décomposer explicitement la représentation de permutation obtenue en faisant agir $\mathfrak{S}_4$ sur l'ensemble des 8 sommets du cube (exercice déjà posé par Myrtille et aussi par JLT).
fanf
Voilà comment je vois (à part une petite question au milieu...), à la lumière de tes indications, Bu, la solution du problème en explicitant un peu (pour ceux qui viendraient voir un jour!) :
On sait qu'il y a 5 classes de conjugaison dans $S4$. Il faut donc déterminer 5 caractères/représentations irréductibles.
On montre tout d'abord les deux résultats que j'annonce au début du fil : $S4$ est isomorphe au groupe des isométries directes du cube (on fait agir ce groupe sur les grandes diagonales, il y en a 4 et on montre que le morphisme sous-jacent est en fait un isomorphisme (ref Alessandri thèmes de géométrie)) et que $S4$ est aussi isomorphe au groupe des isométries (pas que directes) du tétraèdre (en faisant agir ce groupe sur les sommets du tétraèdre).
On peut donner dans chaque cas une sorte de traduction entre $S4$ et ces groupes d'isométries. Par exemple pour les isométries directes du cube, les transpositions "sont" les retournements d'axe binaire (cf Ladegaillerie, géométrie p.ex), les doubles transpositions sont les retournements d'axe quaternaire (que Bu voit aussi comme les axes de coordonnées), les 3-cycles sont les rotations d'axe ternaire et d'angle $+2\pi/3,-2\pi/3$, les 4-cycles sont les rotations d'axe quaternaire et d'angles $+\pi/2,-\pi/2$.
On trouve le même genre de correspondance pour les isométries du tétraèdres. Bref, ces isomorphismes donnent, en particulier, des morphismes $\rho_3: S4\to O_3$ ($S4$ isomorphe au groupe du tétraèdre) et $\rho'_3 S4\to SO_3$ et donc des représentations de degré 3. On détermine leur caractère en déterminant la trace sur les classes de conjugaison dans $O_3$ et $S0_3$. On trouve $\chi_3 : (3,1,-1,0,-1)$ et $\chi'_3 : (3,-1,-1,0,1)$. On vérifier que ces caractères (et donc représentations) sont irréductibles en calculant leur norme (elle vaut bien 1). Ensuite, on fait agit le groupe du cube sur les axes quaternaires et on obtient une autre représentation de degré 3 (il faut avoir un peu d'imagination pour voir cette action !) et on obtient un caractère $\chi''_3 : (3,1,3,0,1)$. Ce dernier n'est pas irréductible comme le montre le calcul de sa norme, elle vaut 2, on peut donc décomposer cette représentation en deux (et pas plus) représentations irréductibles, dont l'une doit être de degré 1 et l'autre de degré 2 (il faut avoir en tête ici, je pense, la version "décomposition diagonales par blocs" des représentations), et la représentation de degré 1 est nécessairement la représentation triviale (pourquoi ??? toutes les représentations contiennent-elles la représentation triviale, une preuve ? c'est peut être clair mais ça m'échappe là...). On obtient alors un caractère associé à une représentation de degré 2 : $\chi_2 : (2,0,2,-1,0)$. En ajoutant la représentation triviale et la signature, on a la table des caractères de $S4$.
Voilà je n'ai pas rajouté grand chose juste explicité un peu,
si vous avez une réponse à ma question en gras ça serait parfait!
fanf.
Ensuite, tu sembles avoir quelques difficultés pour les "représentations de permutation". Ce sont les représentations qui viennent d'une action du groupe $G$ par permutations sur un ensemble fini $X$ à $n$ éléments. Ceci donne une représentation de dimension $n$ de $G$ en associant à chaque élément de $G$ la matrice de permutation correspondante. (L'espace de la représentation a une base $(e_x)_{x\in X}$ et la représentation est donnée par $\rho(g)(e_x)=e_{g\cdot x}$).
Une telle représentation de permutation contient toujours la représentation triviale comme sous-représentation : en effet, la droite vectorielle engendrée par le vecteur $\sum_{x\in X} e_x$ est évidemment stable par $G$. Un supplémentaire stable de cette droite vectorielle donne une représentation de dimension $n-1$ de $G$.
Dans le cas de $\mathfrak{S}_4$, ceci peut être appliqué :
- à $\mathfrak{S}_4$ comme groupe des permutations d'un ensemble à 4 éléments. Quelle représentation de dimension 3 obtient-on?
- à $\mathfrak{S}_4$ agissant par permutations sur l'ensemble des 3 axes quaternaires (ce que tu as fait ci-dessus, sans bien voir les dessous de l'affaire).
- à $\mathfrak{S}_4$ agissant par permutations sur l'ensemble des 2 tétraèdres réguliers inscrits dans le cube. Quelle représentation de dimension 1 obtient-on?
Dans les trois exemples ci-dessus, on constate que la représentation de dimension $n-1$ obtenue en retirant la représentation triviale d'une représentation de permutation de dimension $n$ est irréductible. C'est le cas ssi l'action de $G$ par permutations sur $X$ est 2-transitive (Myrtille avait posé ça comme question dans un autre fil, et la démonstration de cette équivalence n'est pas bien compliquée quand on applique la formule de Burnside à l'action diagonale de $G$ sur le produit cartésien $X\times X$).
En ce qui concerne les autres questions tu avais donné des débuts de réponse dans ton premier message, je vais continuer à étudier ça, surtout le fait que la signature est l'action du groupe du cube sur les deux tétraèdres inscrits dans celui-ci, c'est encore flou !
Merci!
Les représentations de dimension 1 (pour n'importe quel groupe fini) viennent toujours d'un quotient abélien du groupe (en fait, de son quotient par son groupe dérivé).
Ici on peut trouver ce quotient géométriquement : on fait agir les rotations du tétraèdre sur l'ensemble des trois axes de retournement qui joignent les milieux d'arêtes opposées. Les rotations agissent par permutation cyclique des trois axes, ce qui fait un quoptient isomorphe à $\Z/3\Z$, effectivement.