Polynôme caractéristique

fanf
fanf
dans Algèbre
Bonjour,
je cherche le polynôme caractéristique du morphisme de Frobenius sur le corps fini $F_q$ avec : $q=p^n$ et le dit morphisme, $\phi:F_q\to F_q,x\mapsto x^p$ (qui est bien linéaire car on est en caractéristique p).
Merci!

Réponses

  • afk
    afk
    Si $\alpha$ est un générateur du groupe cyclique $\mathbb{F}_q^\times$ alors, $(\alpha,\phi(\alpha),\ldots,\phi^{n-1}(\alpha))$ est une base de $\mathbb{F}_q$. Ça doit sacrément simplifier le calcul du polynôme caractéristique (en utilisant $\phi^n = \mathrm{id}$).
  • fanf
    fanf
    Effectivement merci !
    On obtient une matrice avec des 1 sur la sous-diagonale et un 1 en haut à droite.
    C'est donc la matrice compagnon du polynôme $X^n-1$, qui est le polynôme caracteristique cherché !
  • dSP
    dSP
    Une autre méthode : il est immédiat que $X^n-1$ est un annulateur du Frobenius,
    et c'est le minimal (cf. majoration du nombre de racines d'un polynôme non nul par son degré).
    Par Cayley-Hamilton, c'est aussi le polynôme caractéristique.
  • fanf
    fanf
    Au fait pourquoi est-ce une base? A priori mon cours donne qu'une base est $(1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1})$.
    Merci!
  • fanf
    fanf
    Merci pour cette réponse dSP, mais le polynôme minimal d'un générateur de $Fq^*$ n'est pas un facteur irréductible de $\phi_{q-1}$ ? Par contre le début montre bien que c'est le polynôme caractéristique puisque annulateur et de degré $n=dim_{Fp}(F_q)$
  • egoroffski
    egoroffski
    Vu la dimension de ton espace, il est vraisemblable qu'afk ait oublié le 1, non ?
  • dSP
    dSP
    fanf : j'ai parlé du polynôme minimal de l'endomorphisme de Frobenius...
  • dSPautaf
    dSPautaf
    afk : il n'est pas exact que si $\alpha$ est générateur de $\mathbb{F}_q^*$, alors
    la famille $(\sigma^k(\alpha))_{0 \leq k \leq n-1}$ est automatiquement une base de $\mathbb{F}_q$
    sur $\mathbb{F}_p$.

    Par exemple, si $p=2$ et $q=8$, le polynôme $X^3+X+1$ est irréductible sur
    $F_2$ et possède donc une racine $\beta$ (différente de $1$ et $0$) dans $\mathbb{F}_8$.
    Mais alors $\beta$ est un générateur de $\mathbb{F}_8^* \simeq \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ alors que $\beta^4+\beta^2+\beta=0$.

    Bref, la structure du groupe cyclique $\mathbb{F}_q^*$ n'est pas d'un grand secours pour résoudre cette question.
  • fanf
    fanf
    Merci dsp je ne trouvais pas de contre exemple!
  • afk
    afk
    J'ai confondu deux énoncés. Merci à DSP pour la précision.
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