Logarithme d'une matrice
dans Algèbre
Comment calculer le logarithme d'une matrice inversible.
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Réponses
La matrice A est inversible donc ses valeurs propres sont non-nulles
ce qui est indispensable pour l'existence du logarithme népérien de A
Lorsque A est matrice carrée 2X2 de valeurs propres $r1$ et $r2$ distinctes (éventuellement complexes conjuguées)
Tu appliques les formules donnant l'image de A par f (fonction numérique) avec I matrice unité
$f(A) = I.[r_1.f(r_2) - r_2.f(r_1)]/(r_1-r_2) + A[f(r_1)-f(r_2)]/(r_1-r_2)$
Lorsque A admet une valeur propre double r,
à condition que f soit continue, dérivable, la relation est:
$f(A) = I.[f(r) - r.f'(r)] + A.f'(r)$
On peut vérifier que certaines caractéristiques des logarithmes sont honorées
(avec a constante réelle positive et b constante réelle) :
$ln(a.A) = I.lna + lnA$
$ln(A^b) = b.lnA$ et en particulier $lnA^{-1} = - lnA$
Mais attention ! dans le cas général $ln(AB)$ est différent de $lnA + lnB$
(non commutativité du produit matriciel de A et
Lorsque A est matrice carrée 3X3 les formules donnant f(A) sont lourdes
mais je peux donner un exemple numérique simple : matrice qui admet 3 valeurs distinctes : 1, j et j² (racines cubiques de l'unité)
alors $ln(A) = \pi/(3.\sqrt{3})$ multiplié par lorsqu'une des valeurs propres de A est nulle et les autres différentes de -1,
il est toujours possible de calculer $ln(I + A)$ avec I matrice unité
Cordialement
As-tu regardé l'exercice 5 page 201 dans le livre d'Algèbre que tu as écrit ?
Amicalement.
Merci Alain pour ta correction
Amitiés
[A ton service AD]
On a alors un antécédent de $D$ en la diagonalisant et un de $(I+N)$ sous la forme $N-N^2/2\cdots$.
Dans le cas réel, on peut le faire avec $D$ semi-simple et la diagonaliser avec des blocs de taille $\le2$.
Cordialement, j_j
Un exo de l'X (2010) : trouver {\em tous} les antécédents réels d'une matrice de rotation.
Pour être plus sérieux, avez vous une référence qui prouve l'existence du logarithme d'une matrice s'il vous plaît ?
Par exemple un logarithme de la matrice nulle ?
Tu peux déjà envisager le cas où la taille de la matrice est 1.
e.v.