Logarithme d'une matrice

Bonjour

La matrice A est inversible donc ses valeurs propres sont non-nulles
ce qui est indispensable pour l'existence du logarithme népérien de A

Lorsque A est matrice carrée 2X2 de valeurs propres $r1$ et $r2$ distinctes (éventuellement complexes conjuguées)
Tu appliques les formules donnant l'image de A par f (fonction numérique) avec I matrice unité

$f(A) = I.[r_1.f(r_2) - r_2.f(r_1)]/(r_1-r_2) + A[f(r_1)-f(r_2)]/(r_1-r_2)$

Lorsque A admet une valeur propre double r,
à condition que f soit continue, dérivable, la relation est:

$f(A) = I.[f(r) - r.f'(r)] + A.f'(r)$

On peut vérifier que certaines caractéristiques des logarithmes sont honorées
(avec a constante réelle positive et b constante réelle) :
$ln(a.A) = I.lna + lnA$
$ln(A^b) = b.lnA$ et en particulier $lnA^{-1} = - lnA$

Mais attention ! dans le cas général $ln(AB)$ est différent de $lnA + lnB$
(non commutativité du produit matriciel de A et

Lorsque A est matrice carrée 3X3 les formules donnant f(A) sont lourdes
mais je peux donner un exemple numérique simple :

    ( 4   3   6)
A = ( 1   1   2)
    (-3  -3  -5)

matrice qui admet 3 valeurs distinctes : 1, j et j² (racines cubiques de l'unité)
alors $ln(A) = \pi/(3.\sqrt{3})$ multiplié par

(-3  -6  -6)
(-2  -3  -4)
( 3   6   6)

lorsqu'une des valeurs propres de A est nulle et les autres différentes de -1,
il est toujours possible de calculer $ln(I + A)$ avec I matrice unité

Cordialement

Bonsoir

Merci Alain pour ta correction
Amitiés

[A ton service AD]

Haha, une perle du forum.

Pour être plus sérieux, avez vous une référence qui prouve l'existence du logarithme d'une matrice s'il vous plaît ?

ok