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Invariants de similitude

Envoyé par SXB 
SXB
Invariants de similitude
il y a huit années
Bonjour : comment trouver les invariants de similitude d'un endomorphisme (d'un IR-)ev de dim finie, diagonalisable donc le polynôme caractéristique est scindé mais pas à racindes simples.

J'ai vu la solution suivante : soient L1 ... Lr les valeurs propres distinctes de u et q le nombre de multiplicités différentes qu'elles comportent (dans le polynôme caractéristique de u). Ces valeurs sont appelées
m1<m2<...<mq Quitte à renommer les Valeurs propres on suppose que les multiplicités sont rangées dans l'ordre décroissant : mult(L1)=mq,...,mult(Lr)=m1.

J'ai alors vu :

P1=(X-L1)...(X-Lr) (toutes les valeurs propres y sont)
P2=(X-L1)...(X-Ls) (il y a toutes les valeurs propres de multiplicité au moins m2)
...
Pq=(X-1)...(X-Ly) (il n'y a que les valeurs propres de multiplicité mq).

Je ne sais pas si tel que je l'ai écrit c'est juste...en tous cas je n'ai pas compris, ça a été sorti d'un chapeau.

Merci d'avance



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par SXB.
Meu
Re: Invariants de similitude
il y a huit années
Non, ce n'est pas juste. Le compte n'y est pas. Par exemple, avec le procédé tel que tu le décris, $L_1$ serait racine de multiplicité $q$ du produit des invariants de similitude, qui est le polynôme caractéristique, alors qu'il devrait être racine de multiplicité $m_q$.
Puisque l'endomorphisme est diagonalisable, son polynôme minimal est scindé à racines simple, et tous les invariants de similitude de même. Si tu les prends dans l'ordre "décroissant" (c.-à-d. avec $P_{i+1}$ divisant $P_i$) alors
$P_1$ a pour racines toutes les valeurs propres, $P_2$ a pour racines toutes les valeurs propres de multiplicité $\geq 2$, $P_3$ a pour racines toutes les valeurs propres de multiplicité $\geq 3$ etc.
Tu peux les fabriquer sans calculer les valeurs propres (si le corps est de caractéristique $0$). Tu poses $Q_0=$ le polynôme caractéristique et ensuite pour $i\geq 0$, $Q_{i+1}=\mathrm{pgcd}(Q_i,Q'_i)$, $P_{i+1}=Q_i/Q_{i+1}$.
Re: Invariants de similitude
il y a huit années
avatar
Citation
SXB
Bonjour : comment trouver les invariants de similitude d'un endomorphisme (d'un IR-)ev de dim finie, diagonalisable donc le polynôme caractéristique est scindé mais pas à racines simples.

C'est faux, si tes racines sont toutes différentes, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont égaux et tes invariants de similitude sont ledit polynôme et un paquet de 1.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Meu
Re: Invariants de similitude
il y a huit années
Je pencherais plutôt pour une coquille/confusion entre "donc" et "dont". Enfin, c'est comme ça que je l'ai compris et c'est visiblement le cas dont SXB parle ensuite.
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