Invariants de similitude
Bonjour : comment trouver les invariants de similitude d'un endomorphisme (d'un IR-)ev de dim finie, diagonalisable donc le polynôme caractéristique est scindé mais pas à racindes simples.
J'ai vu la solution suivante : soient L1 ... Lr les valeurs propres distinctes de u et q le nombre de multiplicités différentes qu'elles comportent (dans le polynôme caractéristique de u). Ces valeurs sont appelées
m1<m2<...<mq Quitte à renommer les Valeurs propres on suppose que les multiplicités sont rangées dans l'ordre décroissant : mult(L1)=mq,...,mult(Lr)=m1.
J'ai alors vu :
P1=(X-L1)...(X-Lr) (toutes les valeurs propres y sont)
P2=(X-L1)...(X-Ls) (il y a toutes les valeurs propres de multiplicité au moins m2)
...
Pq=(X-1)...(X-Ly) (il n'y a que les valeurs propres de multiplicité mq).
Je ne sais pas si tel que je l'ai écrit c'est juste...en tous cas je n'ai pas compris, ça a été sorti d'un chapeau.
Merci d'avance
J'ai vu la solution suivante : soient L1 ... Lr les valeurs propres distinctes de u et q le nombre de multiplicités différentes qu'elles comportent (dans le polynôme caractéristique de u). Ces valeurs sont appelées
m1<m2<...<mq Quitte à renommer les Valeurs propres on suppose que les multiplicités sont rangées dans l'ordre décroissant : mult(L1)=mq,...,mult(Lr)=m1.
J'ai alors vu :
P1=(X-L1)...(X-Lr) (toutes les valeurs propres y sont)
P2=(X-L1)...(X-Ls) (il y a toutes les valeurs propres de multiplicité au moins m2)
...
Pq=(X-1)...(X-Ly) (il n'y a que les valeurs propres de multiplicité mq).
Je ne sais pas si tel que je l'ai écrit c'est juste...en tous cas je n'ai pas compris, ça a été sorti d'un chapeau.
Merci d'avance
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Réponses
Puisque l'endomorphisme est diagonalisable, son polynôme minimal est scindé à racines simple, et tous les invariants de similitude de même. Si tu les prends dans l'ordre "décroissant" (c.-à-d. avec $P_{i+1}$ divisant $P_i$) alors
$P_1$ a pour racines toutes les valeurs propres, $P_2$ a pour racines toutes les valeurs propres de multiplicité $\geq 2$, $P_3$ a pour racines toutes les valeurs propres de multiplicité $\geq 3$ etc.
Tu peux les fabriquer sans calculer les valeurs propres (si le corps est de caractéristique $0$). Tu poses $Q_0=$ le polynôme caractéristique et ensuite pour $i\geq 0$, $Q_{i+1}=\mathrm{pgcd}(Q_i,Q'_i)$, $P_{i+1}=Q_i/Q_{i+1}$.
C'est faux, si tes racines sont toutes différentes, le polynôme caractéristique et le polynôme minimal sont égaux et tes invariants de similitude sont ledit polynôme et un paquet de 1.
-- Schnoebelen, Philippe