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anneau de polynômes

Envoyé par db 
db
anneau de polynômes
il y a huit années
Bonjour,

Je sais que si $A$ est un anneau commutatif unifère, alors l'ensemble $A[X]$ des polynômes des coefficients dans $A$ muni de l'addition et de la multiplication que vous savez est aussi un anneau commutatif unifère. Le point qui m'intéresse est l'associativité de la multiplication des polynômes. Ce qui m'a intrigué, c'est l'argument donné dans le livre de Lelong-Ferrand & Arnaudiès pour justifier cette propriété. Voici ce qu'on y lit:

Citation
Lelong-Ferrand & Arnaudiès
Soit $P = (a_p)_{p \in \N}$, $Q = (b_k)_{k \in \N}$ et $R = (c_r)_{r \in \N}$ trois polynômes. On a
$PQ = (\beta_m)_{m \in \N}$; $(PQ)R = (\gamma_n)_{n \in \N}$; $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \beta_k c_l$; $\beta_k = \sum_{p + k =k} a_p b_q$.
Par associativité du produit et commutativité de la somme dans $A$, on déduit de là:
$\gamma_n = \sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$.
On démontrerait de même que $P(QR) = (\gamma_n)_{n \in \N}$.

Il y a bien sûr une coquille dans l'égalité concernant $\beta_k$ (un $q$ devenu $k$), passons. Ce qui m'intrigue, c'est d'utiliser l'associativité du produit et la commutativité de la somme dans $A$ au lieu d'utiliser la distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$. Est-ce vraiment vrai qu'on peut se passer de cette dernière propriété pour montrer l'associativité de la multiplication des polynômes?! :S
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Bonjour,

Il utilise aussi la distributivité du produit sur la somme dans $A$. Il ne le dit pas voilà tout.
Tu es bien obligé de distribuer $c_l$ sur les éléments de la somme $\beta_k$ avant d'utiliser la commutativité de la somme pour regrouper intelligemment les termes.
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
avatar
D'ailleurs, je trouve l'argument mal écrit.
Ce qu'on utilise surtout c'est:

1) la distributivité

2) le fait que l'indéterminée $X$ soit centrale, c'est-à-dire $aX=Xa$, ce qui provient de la définition du
produit.

3) l'associativité dans $A$

On devrait dire, au moins, pour dégager les arguments réellement utilisés que, par distributivité, et par définition du produit, on a

$(PQ)R=\sum_{n}(\sum_{p+q+r = n} (a_p b_q) c_r)X^n$, et que de même

$P(QR)=\sum_{n}(\sum_{p+q+r = n}(a_p (b_q c_r))X^n$. Par associativité dans $A$, on a $(PQ)R=P(QR)$.

La commutativité de $A$ ne joue absolument aucun rôle. On peut d'ailleurs considérer des
polynômes à valeurs dans un corps gauche.
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Je parlais de la commutativité de la somme personnellement.
db
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Merci. Ok pour dire qu'on utilise les propriétés suivantes de $A$:
- l'associativité de la multiplication
- et la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Ok aussi pour dire qu'on n'a pas besoin de la commutativité de la multiplication de $A$. En revanche, je n'ai pas vu où la commutativité de la somme intervenait.
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Citation
Db
je n'ai pas vu où la commutativité de la somme intervenait.
Sauf erreur de ma part, pour rassembler les monômes de même degré, on permute des termes de sommes.

Cordialement.
db
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Je crois voir ce que tu veux dire, Gérard : on voudrait pouvoir dire que l'on a $18 X^4 + 8 X^3 = 8 X^3 + 18 X^4$, c'est ça? Mais ça,
- ça n'est pas la commutativité de + dans $A$;
- on n'en a pas besoin pour montrer que l'on a $\sum_{k+l=n} \beta_k c_l = \sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$.
Moi, j'aurais écrit:

On a $PQ = (\beta_m)_{m \in \N}$ et $(PQ)R = (\gamma_n)_{n \in \N}$ avec $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \beta_k c_l$ et $\beta_m = \sum_{p + q =m} a_p b_q$. D'où $\gamma_n = \sum_{k+l=n} (\sum_{p+q=k} a_p b_q) \cdot c_l$. Par distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$, on déduit $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} (a_p b_q) \cdot c_l$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} a_p \cdot (b_q c_l)$.
Maintenant, on a $QR = (\delta_s)_{s \in \N}$ et $P(QR) = (\epsilon_n)_{n \in \N}$ avec $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p \delta_t$ et $\delta_s = \sum_{q+l = s} b_q c_l$. D'où $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p (\sum_{q+l=t} b_q c_l)$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Mais tu as déjà utilisé la commutativité de l'addition dans A : L'écriture $ \sum_{k+l=n} \beta_k c_l $ ou l'écriture $\sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$ présupposent la commutativité, sinon elles n'ont pas de sens. Tu peux essayer de les réécrire d'une façon qui conserve l'ordre d'apparition. J'ai peur que ça coince.
De plus la propriété de commutativité de l'addition dans A[X] (à laquelle tu réfère en début de message) ne nécessite-elle pas la commutativité de l'addition dans A :
Si $(a+b)X=aX+bX=bX+aX=(b+a)X$, ne peut-on en déduire que $a+b=b+a$ ?

Cordialement.
db
Re: anneau de polynômes
il y a huit années
Citation
Gérard
Mais tu as déjà utilisé la commutativité de l'addition dans A : L'écriture $ \sum_{k+l=n} \beta_k c_l $ ou l'écriture $\sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$ présupposent la commutativité, sinon elles n'ont pas de sens. Tu peux essayer de les réécrire d'une façon qui conserve l'ordre d'apparition. J'ai peur que ça coince.

Tu as raison. Ca pourrait avoir un sens en utilisant l'ordre de $\N \times \N$, mais il faudrait sans doute expliciter les choses en écrivant par exemple $\{ (k, l) \: / \: k+l= n \}$ au lieu de $k+l=n$, puisqu'alors la somme serait a priori distincte de celle pour laquelle les indices seraient pris dans $\{ (l, k) \: / \: k+l= n \}$. Mais, alors, de toute façon, ça coincerait ici : $\sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.
Merci!

Citation
Gérard
Si $(a+b)X=aX+bX=bX+aX=(b+a)X$, ne peut-on en déduire que $a+b=b+a$ ?

Si. Mais je croyais que l'on parlait de $a X^k + b X^l = b X^l + a X^k$ avec $k \not= l$ : ce sont deux propriétés différentes. Cette dernière, il me semble, n'a rien à voir avec la commutativité de la somme dans $A$.
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