anneau de polynômes
Bonjour,
Je sais que si $A$ est un anneau commutatif unifère, alors l'ensemble $A[X]$ des polynômes des coefficients dans $A$ muni de l'addition et de la multiplication que vous savez est aussi un anneau commutatif unifère. Le point qui m'intéresse est l'associativité de la multiplication des polynômes. Ce qui m'a intrigué, c'est l'argument donné dans le livre de Lelong-Ferrand & Arnaudiès pour justifier cette propriété. Voici ce qu'on y lit:
Il y a bien sûr une coquille dans l'égalité concernant $\beta_k$ (un $q$ devenu $k$), passons. Ce qui m'intrigue, c'est d'utiliser l'associativité du produit et la commutativité de la somme dans $A$ au lieu d'utiliser la distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$. Est-ce vraiment vrai qu'on peut se passer de cette dernière propriété pour montrer l'associativité de la multiplication des polynômes?! :S
Je sais que si $A$ est un anneau commutatif unifère, alors l'ensemble $A[X]$ des polynômes des coefficients dans $A$ muni de l'addition et de la multiplication que vous savez est aussi un anneau commutatif unifère. Le point qui m'intéresse est l'associativité de la multiplication des polynômes. Ce qui m'a intrigué, c'est l'argument donné dans le livre de Lelong-Ferrand & Arnaudiès pour justifier cette propriété. Voici ce qu'on y lit:
Lelong-Ferrand & Arnaudiès a écrit:Soit $P = (a_p)_{p \in \N}$, $Q = (b_k)_{k \in \N}$ et $R = (c_r)_{r \in \N}$ trois polynômes. On a
$PQ = (\beta_m)_{m \in \N}$; $(PQ)R = (\gamma_n)_{n \in \N}$; $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \beta_k c_l$; $\beta_k = \sum_{p + k =k} a_p b_q$.
Par associativité du produit et commutativité de la somme dans $A$, on déduit de là:
$\gamma_n = \sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$.
On démontrerait de même que $P(QR) = (\gamma_n)_{n \in \N}$.
Il y a bien sûr une coquille dans l'égalité concernant $\beta_k$ (un $q$ devenu $k$), passons. Ce qui m'intrigue, c'est d'utiliser l'associativité du produit et la commutativité de la somme dans $A$ au lieu d'utiliser la distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$. Est-ce vraiment vrai qu'on peut se passer de cette dernière propriété pour montrer l'associativité de la multiplication des polynômes?! :S
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il utilise aussi la distributivité du produit sur la somme dans $A$. Il ne le dit pas voilà tout.
Tu es bien obligé de distribuer $c_l$ sur les éléments de la somme $\beta_k$ avant d'utiliser la commutativité de la somme pour regrouper intelligemment les termes.
Ce qu'on utilise surtout c'est:
1) la distributivité
2) le fait que l'indéterminée $X$ soit centrale, c'est-à-dire $aX=Xa$, ce qui provient de la définition du
produit.
3) l'associativité dans $A$
On devrait dire, au moins, pour dégager les arguments réellement utilisés que, par distributivité, et par définition du produit, on a
$(PQ)R=\sum_{n}(\sum_{p+q+r = n} (a_p b_q) c_r)X^n$, et que de même
$P(QR)=\sum_{n}(\sum_{p+q+r = n}(a_p (b_q c_r))X^n$. Par associativité dans $A$, on a $(PQ)R=P(QR)$.
La commutativité de $A$ ne joue absolument aucun rôle. On peut d'ailleurs considérer des
polynômes à valeurs dans un corps gauche.
- l'associativité de la multiplication
- et la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Ok aussi pour dire qu'on n'a pas besoin de la commutativité de la multiplication de $A$. En revanche, je n'ai pas vu où la commutativité de la somme intervenait.
Cordialement.
- ça n'est pas la commutativité de + dans $A$;
- on n'en a pas besoin pour montrer que l'on a $\sum_{k+l=n} \beta_k c_l = \sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$.
Moi, j'aurais écrit:
On a $PQ = (\beta_m)_{m \in \N}$ et $(PQ)R = (\gamma_n)_{n \in \N}$ avec $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \beta_k c_l$ et $\beta_m = \sum_{p + q =m} a_p b_q$. D'où $\gamma_n = \sum_{k+l=n} (\sum_{p+q=k} a_p b_q) \cdot c_l$. Par distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$, on déduit $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} (a_p b_q) \cdot c_l$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} a_p \cdot (b_q c_l)$.
Maintenant, on a $QR = (\delta_s)_{s \in \N}$ et $P(QR) = (\epsilon_n)_{n \in \N}$ avec $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p \delta_t$ et $\delta_s = \sum_{q+l = s} b_q c_l$. D'où $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p (\sum_{q+l=t} b_q c_l)$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.
De plus la propriété de commutativité de l'addition dans A[X] (à laquelle tu réfère en début de message) ne nécessite-elle pas la commutativité de l'addition dans A :
Si $(a+b)X=aX+bX=bX+aX=(b+a)X$, ne peut-on en déduire que $a+b=b+a$ ?
Cordialement.
Tu as raison. Ca pourrait avoir un sens en utilisant l'ordre de $\N \times \N$, mais il faudrait sans doute expliciter les choses en écrivant par exemple $\{ (k, l) \: / \: k+l= n \}$ au lieu de $k+l=n$, puisqu'alors la somme serait a priori distincte de celle pour laquelle les indices seraient pris dans $\{ (l, k) \: / \: k+l= n \}$. Mais, alors, de toute façon, ça coincerait ici : $\sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.
Merci!
Si. Mais je croyais que l'on parlait de $a X^k + b X^l = b X^l + a X^k$ avec $k \not= l$ : ce sont deux propriétés différentes. Cette dernière, il me semble, n'a rien à voir avec la commutativité de la somme dans $A$.