anneau de polynômes

Merci. Ok pour dire qu'on utilise les propriétés suivantes de $A$:
- l'associativité de la multiplication
- et la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Ok aussi pour dire qu'on n'a pas besoin de la commutativité de la multiplication de $A$. En revanche, je n'ai pas vu où la commutativité de la somme intervenait.

Je crois voir ce que tu veux dire, Gérard : on voudrait pouvoir dire que l'on a $18 X^4 + 8 X^3 = 8 X^3 + 18 X^4$, c'est ça? Mais ça,
- ça n'est pas la commutativité de + dans $A$;
- on n'en a pas besoin pour montrer que l'on a $\sum_{k+l=n} \beta_k c_l = \sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$.
Moi, j'aurais écrit:

On a $PQ = (\beta_m)_{m \in \N}$ et $(PQ)R = (\gamma_n)_{n \in \N}$ avec $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \beta_k c_l$ et $\beta_m = \sum_{p + q =m} a_p b_q$. D'où $\gamma_n = \sum_{k+l=n} (\sum_{p+q=k} a_p b_q) \cdot c_l$. Par distributivité de la multiplication sur la somme dans $A$, on déduit $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} (a_p b_q) \cdot c_l$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\gamma_n = \sum_{k+l=n} \sum_{p+q=k} a_p \cdot (b_q c_l)$.
Maintenant, on a $QR = (\delta_s)_{s \in \N}$ et $P(QR) = (\epsilon_n)_{n \in \N}$ avec $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p \delta_t$ et $\delta_s = \sum_{q+l = s} b_q c_l$. D'où $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} a_p (\sum_{q+l=t} b_q c_l)$. Par associativité de la multiplication dans $A$, on obtient $\epsilon_n = \sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.

Gérard a écrit:

Mais tu as déjà utilisé la commutativité de l'addition dans A : L'écriture $ \sum_{k+l=n} \beta_k c_l $ ou l'écriture $\sum_{p+q+r = n} a_p b_q c_r$ présupposent la commutativité, sinon elles n'ont pas de sens. Tu peux essayer de les réécrire d'une façon qui conserve l'ordre d'apparition. J'ai peur que ça coince.

Tu as raison. Ca pourrait avoir un sens en utilisant l'ordre de $\N \times \N$, mais il faudrait sans doute expliciter les choses en écrivant par exemple $\{ (k, l) \: / \: k+l= n \}$ au lieu de $k+l=n$, puisqu'alors la somme serait a priori distincte de celle pour laquelle les indices seraient pris dans $\{ (l, k) \: / \: k+l= n \}$. Mais, alors, de toute façon, ça coincerait ici : $\sum_{p+t = n} \sum_{q+l=t} a_p \cdot (b_q c_l) = \gamma_n$.
Merci!

Gérard a écrit:

Si $(a+b)X=aX+bX=bX+aX=(b+a)X$, ne peut-on en déduire que $a+b=b+a$ ?

Si. Mais je croyais que l'on parlait de $a X^k + b X^l = b X^l + a X^k$ avec $k \not= l$ : ce sont deux propriétés différentes. Cette dernière, il me semble, n'a rien à voir avec la commutativité de la somme dans $A$.