Bonjour voilà j'ai une question si vous pouviez me répondre ?
Soit p un nombre premier Pn est l'ensemble des polynômes de degré n, indivisibles dans l'anneau Fp [x] = Z/pZ [x]
Comment trouver cardinal(P2) ; cardinal(P3) et en général cardinal(Pk)
Merci
Réponses
Jean-Yves Degos
Il y a en tout $p^3$ polynômes de degré 2 à coefficients dans $\bb{F}_p$. Un polynôme de degré deux qui admet une racine en admet forcément une seconde (distincte ou confondue). Les polynômes ayant une racine sont donc de la forme $a(X-b)(X-c)$ avec $a$ non nul et $b$ et $c$ distincts ou non; reste à faire les comptes...
Par commodité $F=\mathbb{F}_p$
Les polynômes de degré $\leq n$ à coeffcients dans $F$ forment un espace vectoriel de dimension $n+1$ sur $F$.
On note $H_\infty$ l'hyperplan vectoriel des polynômes de degré $<n$ et, pour $a\in F$, $H_a$ l'hyperplan vectoriel des polynômes ayant $a$ pour racine. Le problème est de trouver le cardinal du complémentaire de $H_\infty \cup \bigcup_{a\in F} H_a$. Ca peut se faire par inclusion-exclusion, en remarquant que, si $k\leq n+1$, alors l'intersection de $k$ hyperplans distincts parmi $H_\infty$ et les $H_a$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n+1-k$.
@Meu y a une règle général pour trouver le nombre? merci
par exemple x²+1 voila je suis désolé!
Est-ce que le polynôme $X^4+X^2+1$ a une racine dans $\R$ ?
Est-ce qu'il est irréductible sur $\R$ ?
donc arrête de me crié dessus
et pour ton équation elle n'admet pas de racine dans R je ne suis pas aussi nul que ça!
ou
2)(x2-x-1)*(x2+x-1)
Proposition:
Soit $P_n$ l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ dans $\mathbb{F}_p[X]$. On a $$
X^{p^n}-X=\prod_{d\mid n}\prod_{P\in P_d}P
$$ Corolaire: $$
p^n=\sum_{d\mid n}d\,|P_d|\qquad\text{et}\qquad |P_n|=\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}\mu\Big(\frac n d\Big)p^d$$
Egalement démontré dans ce Tauvel, exercice 24.1 p146.
Amicalement.
je peux pas accédé a ce livre...
Sinon on trouve la démonstration dans le Francinou, Gianella Exercices Exercices de mathématiques Oraux X-ENS Algèbre 1.