Classification des groupes finis

Bonjour,

La classification des groupes finis simples est faite (depuis plusieurs années).

J'ai appris cependant que cela nous donne pas une classification des groupes finis.

Sur Groupes simples

Citation
Wikipedia
A complete determination of the structure of all finite groups is too much to hope for; the number of possible structures soon becomes overwhelming. However, the complete classification of the finite simple groups was achieved, meaning that the "building blocks" from which all finite groups can be built are now known, as each finite group has a composition series.

Quel genre de groupes finis ne peut-on pas classifier grace à la classification des groupes finis simples ?
Merci

Par exemple, le groupe des quaternions.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-

Tout dépend de ce qu'on appelle classifier, evidemment. En quelque sorte les groupes simples sont bien les briques élémentaires qui permettent "d'obtenir" tous les groupes finis. Mais "obtenir" peut vouloir dire une répétition de produit direct (facile), produit semi direct (deja plus tordu) ou simplement extension. Ce dernier cas est le plus général, et repond "completement" en ce sens que tout groupe fini peut s'obtenir par extension successive de groupes simples. Le hic c'est que les extensions d'un groupe sont en général elle même très difficile à classifier.

Cf. les liens suivants (in French now!) :

Groupe simple.

Classification des groupes simples finis.

Liste des groupes finis simples.

A +

Merci j'aime bien

Citation
Wikipedia
Les groupes simples finis sont importants car il peuvent être perçus comme les briques de base de tous les groupes finis, de la même façon que tous les nombres entiers peuvent être décomposés en produit de nombres premiers.

Mais dans un cours de David Harari, il dit

Citation

On ne peut pas toujours "reconstituer" un groupe a partir de ses sous-groupes. En particulier, la connaissance des groupes finis simples ne suffit absolument pas a connaitre tous les groupes finis, contrairement a une croyance populaire assez repandue (notamment chez les agregatifs !).

Oui, c'est ce que jobherzt t'a expliqué, mais apparemment tu n'as pas lu attentivement la fin de son message. Personne ne t'a dit que la classification des groupes finis simples permettait de classifier les groupes finis, bien au contraire (ni Jobherzt, ni Wikipedia).

Par exemple, $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ sont deux extensions de $\Z/2\Z$ par $\Z/2\Z$ (et $\Z/2\Z$ est bien un groupe simple).

Merci GregGre,
Je trouve l'analogie de Wikipedia mal choisie car les nombres premiers, eux, permettent de décrire tous les entiers.

Encore une fois, relis nos réponses: les groupes simples permettent de décrire, de fabriquer tous les groupes pr extensions successives. Mais ca ne donne pas pour autant une classification des groupes, il y a une différence. Donc l'analogie est bonne, mais evidemment ca reste une analogie.

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