Equation algébrique
Bonsoir à tous,
Suite à ce qui a été dit sur ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,709059
Je tiens à rectifier certaines erreurs pour pouvoir suivre le débat jusqu'au bout.
Voici l'ancien message du fil ci dessus corrigé :
Je viens de trouver une nouvelle méthode pour résoudre les équations de second degré, et je voudrais savoir ce que vous pensez de cette méthode, c'est à dire est ce que cette méthode peut être généralisée pour n'importe quelle équation algébrique de degré quelconque ?
Il s'agit de factoriser l'équation : $ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = 0 $ en une expression de la forme : $ ( u_1 x + u_2 y ) ( v_1 x + v_2 y ) = 0 $
On développe cette dernière égalité, et on obtient : $ u_1 v_1 x^2 + ( u_1 v_2 + v_1 u_2 ) xy + u_2 v_2 y^2 = 0 $
On identifie les deux équations terme par terme, et on obtient : $ ( 1 ) $
$ u_1 v_1 = a_2 $
$ u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1 $
$ u_2 v_2 = a_0 $
On cherche $ u_1 $ , $ u_2 $ , $ v _1$ et $ v_2 $ sous la forme :
$ u_1 = r_1 e^{i t_{1} } $
$ u_2 = r_2 e^{i t_{2} } $
$ v_1 = r_1 e^{- i t_{1} } $
$ v_2 = r_2 e^{- i t_{2} } $
D'après $ ( 1 ) $ :
$ u_1 v_1 = r_{1}^{2} = a_2 $
$ u_2 v_2 = r_{2}^{2} = a_0 $
$ u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1 \ \ \Longrightarrow \ \ r_1 r_2 ( e^{i ( t_{1} - t_{2} )} + e^{-i ( t_{1} - t_{2} )} ) = a_{1} $
$ \Longrightarrow \ \ \cos ( t_{1} - t_{2} ) = \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } $
$ \Longrightarrow \ \ t_{1} = t_{2} + \acos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) $
Par conséquent :
$ u_1 = r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } $
$ v_1 = r_1 e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } ) } $
$ u_2 = r_2 e^{i t_{2} } $
$ v_2 = r_2 e^{- i t_{2} } $
Par suite :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y ) ( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y ) $
Donc, on constate qu'il y a plusieurs factorisations suivant les valeurs de $ t_2 $.
On pose , par exemple, $ t_2 = 0 $, et , on obtient :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( \sqrt{a_{2}} e^{i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y ) ( \sqrt{a_{2}} e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y ) $
D'après la formule de De Moivre : $ \forall z \in \mathbb{C} $ :
$ e^z = \cos (z) + i \sin (z) $
On obtient, finalement, la factorisation :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 \big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } + i \sqrt{ 1 - ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } )^{2} } \big) x + r_2 y ) ( r_1 \big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } - i \sqrt{ 1 - ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } )^2 } \big) x + r_2 y ) $
======================================
Je reprends la même question :
Est ce que cette méthode peut être généralisée pour n'importe quelle équation algébrique de degré quelconque ?
Merci pour votre aide.
Suite à ce qui a été dit sur ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,709059
Je tiens à rectifier certaines erreurs pour pouvoir suivre le débat jusqu'au bout.
Voici l'ancien message du fil ci dessus corrigé :
Je viens de trouver une nouvelle méthode pour résoudre les équations de second degré, et je voudrais savoir ce que vous pensez de cette méthode, c'est à dire est ce que cette méthode peut être généralisée pour n'importe quelle équation algébrique de degré quelconque ?
Il s'agit de factoriser l'équation : $ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = 0 $ en une expression de la forme : $ ( u_1 x + u_2 y ) ( v_1 x + v_2 y ) = 0 $
On développe cette dernière égalité, et on obtient : $ u_1 v_1 x^2 + ( u_1 v_2 + v_1 u_2 ) xy + u_2 v_2 y^2 = 0 $
On identifie les deux équations terme par terme, et on obtient : $ ( 1 ) $
$ u_1 v_1 = a_2 $
$ u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1 $
$ u_2 v_2 = a_0 $
On cherche $ u_1 $ , $ u_2 $ , $ v _1$ et $ v_2 $ sous la forme :
$ u_1 = r_1 e^{i t_{1} } $
$ u_2 = r_2 e^{i t_{2} } $
$ v_1 = r_1 e^{- i t_{1} } $
$ v_2 = r_2 e^{- i t_{2} } $
D'après $ ( 1 ) $ :
$ u_1 v_1 = r_{1}^{2} = a_2 $
$ u_2 v_2 = r_{2}^{2} = a_0 $
$ u_1 v_2 + v_1 u_2 = a_1 \ \ \Longrightarrow \ \ r_1 r_2 ( e^{i ( t_{1} - t_{2} )} + e^{-i ( t_{1} - t_{2} )} ) = a_{1} $
$ \Longrightarrow \ \ \cos ( t_{1} - t_{2} ) = \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } $
$ \Longrightarrow \ \ t_{1} = t_{2} + \acos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) $
Par conséquent :
$ u_1 = r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } $
$ v_1 = r_1 e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } ) } $
$ u_2 = r_2 e^{i t_{2} } $
$ v_2 = r_2 e^{- i t_{2} } $
Par suite :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y ) ( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y ) $
Donc, on constate qu'il y a plusieurs factorisations suivant les valeurs de $ t_2 $.
On pose , par exemple, $ t_2 = 0 $, et , on obtient :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( \sqrt{a_{2}} e^{i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y ) ( \sqrt{a_{2}} e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 \sqrt{a_{0}} \sqrt{a_{2}} } ) } x + \sqrt{a_{0}} y ) $
D'après la formule de De Moivre : $ \forall z \in \mathbb{C} $ :
$ e^z = \cos (z) + i \sin (z) $
On obtient, finalement, la factorisation :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 \big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } + i \sqrt{ 1 - ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } )^{2} } \big) x + r_2 y ) ( r_1 \big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } - i \sqrt{ 1 - ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } )^2 } \big) x + r_2 y ) $
======================================
Je reprends la même question :
Est ce que cette méthode peut être généralisée pour n'importe quelle équation algébrique de degré quelconque ?
Merci pour votre aide.
Cette discussion a été fermée.
Réponses
de quoi parles-tu ? Tu as écrit des lettres ($x, y, a_0, ...r_1,...t_1, ..$) sans jamais dire ce qu'elles sont.
Commence par dire où tu les prends (si ce sont des réels, des complexes, des vaches ou des année lumières). Sinon, rien n'est compréhensible. Par exemple :
"... sous la forme :
$ u_1 = r_1 e^{i t_{1} } $"
Ne dit rien si on ne sait pas ce que sont $r_1$ et $t_1$.
Donc pour l'instant, tu n'as rien inventé, tu as écrit des "formules", et cet embrouillamini n'est pas généralisable, sauf en embrouillamini.
Arête de rêver !
Les $x, y, a_0, ...r_1,...t_1, ..$ sont tous dans $ \mathbb{C} $.
En particulier, on sait le faire uniquement pour un polynôme homogène de degré 1, 2, 3 ou 4.
Par exemple, on a $$ax^2+ bxy +cy^2=a\Big(x- \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}y\Big)\Big(x- \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}y\Big)$$
absolument sans calculs fumeux.
1) tu utilises l'arcos d'un nombre complexe, je suis curieux de savoir comment tu le définis.
2) On ne sait pas qui est $r_1,r_2$ , i.e. comment tu les calcules en fonction des données
3) tu obtiens plusieurs factorisations selon les valeurs de $t_2$. Impossible, étant donné un polynôme fixé, il n'a qu'une factorisation à ordre des facteurs près.
4) Pour la même raison, tu devrais retrouver le résultat que j'ai indiqué plus haut ,ce qui n'est pas le cas.
Enfin, puisque tu as l'air de comprendre ce que j'ai dit, j'aimerais que tu expliques aux autres intervenants qui ne connaîtraient pas le truc comment on fait pour factoriser les polynômes homogènes en deux variables en se ramenant à la factorisation des polynômes d'une variable.
1) Pour ce qui est de la manière de définir la fonction réciproque de la fonction cosinus complexe, c'est un peu compliqué, la méthode se trouve ici : http://maths83.free.fr/pdfM3/TD/td2c.pdf , à la page 7, je connais donc la méthode, mais je ne vois pas l’intérêt de te l'expliquer maintenant.
2) la réponse à ta deuxième question se trouve au milieu de la page suivante :
[Activation des liens. AD]
La question de Greg est : "Comment toi, définis-tu ladite fonction ?". Ce que tu écris, est-il cohérent ?
A +
Ah mince, du coup, je ne sais plus qui est le disciple et qui est le maître !
La recherche, ce n'est pas gribouiller seul dans son coin, c'est exposer et expliquer de manière claire tes résultats et tes arguments. Pour l'instant, de ce côté, tu as un zéro pointé.
Par ces questions, j'essaye de te faire comprendre où ça coince.
Et n'essaye pas de t'en tirer par une pirouette genre "ça sert à rien , et je n 'ai pas le temps" . Ta mauvaise volonté montre seulement que tu ne veux pas expliquer:
- soit parce que tu sais pertinemment que ton charabia est faux, mais que tu ne veux pas te l'entendre dire
- soit parce que tu ne veux pas avouer ton ignorance
- soit parce que ce n'est pas clair dans ta tête
Je pencherais pour tout ça à la fois.
Donc réponds à mes questions:
1) comment définis-tu $arcos(z)$ pour $z\in\C$, et si tu crois vraiment que tu as le droit de l'utiliser comme tu le fais ?
2) dis-moi aussi comment tu définis $\sqrt{z},z\in\C$, et si tu crois vraiment que tu as le droit de l'utiliser comme tu le fais ?
3) Explique-moi pourquoi tu ne trouves pas la même factorisation que moi, alors qu'une factorisation est unique à ordre des facteurs près et à une constante près.
4) Explique de manière claire aux autres comment on fait pour factoriser les polynômes homogènes en deux variables en se ramenant à la factorisation des polynômes d'une variable.
2) Nous en avons un peu discuté ici J'aimerais bien avoir le fin mot de l'histoire.
3) C'est de la recherche pure, non ?
amicalement,
e.v.
Je n'attends pas que tu me fasses une évaluation sur mes connaissances. J'ai le cours devant moi, je t'ai montré comment définir la fonction $ \mathrm{arcos} (z) $ avec $ z \in \mathbb{C} $ ,dans mon pdf, tu ne veux pas jeter un coup d'oeil là bà.
La factorisation que tu as donné s'obtient à partir de ma factorisation, en posant $ a_2 = 1 $. J'ai fait le calcul sur un papier et je trouve le même résultat que toi , ce qui montre que ma methode est plus generale que la tienne.
Ce que j'attends de vous tous est la réponse à la question suivante : Est ce que la methode que j'ai proposé pour résoudre les équations algebriques de second degré ( en utilisant la trigonometrie ) se généralise aux autres équations de degré quelconque ? ( svp, aidez moi, n'essayez pas d'encombrer la discussion pour rien, essayez de suivre mon rythme, je ne veux pas rester parler lentement sur des points qui n'ont aucun interet dans notre discussion )
Merci pour votre comprehension.
Il n'y'a pas plusieurs factorisation suivant la valeur de $ t_{2} $ :
On a obtenu :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y ) ( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y ) $
d'accord, celà veut dire qu'on a :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = e^{i t_{2}} e^{- i t_{2}}( r_1 e^{i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) } x + r_2 y ) ( r_{1} e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) } x + r_{2} y ) $
C'est à dire , en fin de compte, on obtient une seule factorisation :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = ( r_1 e^{i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) } x + r_2 y ) ( r_{1} e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) } x + r_{2} y ) $
Je n'évalue pas tes connaissances , je te demande d'expliquer clairement ta méthode, et tes arguments pour que l'on puisse juger de sa validité ou non.
Ta méthode n'en sera pas une tant que tous les passages d'une ligne à l'autre ne seront pas justifiées par des arguments solides.
Quant à l'arcos ou la racine carrée d'un nombre complexe, tu évites le sujet, alors que c'est le coeur du problème. Comportes-toi en mathématicien, puisque tu prétends en être un!
Pablo ne prétend pas être un mathématicien, seulement un génie. Et les génies sont toujours incompris ! X:-(
Cordialement.
NB : Un génie qui demande aux autre de faire son travail ("est-ce qu'on peut généraliser") est quand même un piètre génie pas du tout génial.
Pourriez vous m'expliquer sérieusement et de manière détaillée, ce qui ne vas pas dans ma procédure, et de me dire comment la corriger ? Greg semble abandonner rapidement la discussion sans laisser la moindre indication sur ce fil. :-(
Merci d'avance.
- Comment définissez vous $ \mathrm{arcos} (z)$ pour $z\in\C$, et si vous croyez qu'on a le droit de l'utiliser comme j'ai fait , et pourquoi ?
- Comment définissez vous $\sqrt{z},z\in\C$, et si vous croyez qu'on a le droit de l'utiliser comme j'ai fait, et pourquoi ?
Merci d'avance.
Svp, au secours, j'ai besoin d'aide.
Expliquez moi juste ces deux points ( en détail ) :
- Comment définissez vous $ \mathrm{arcos} (z)$ pour $z\in\C$, et si vous croyez qu'on a le droit de l'utiliser comme j'ai fait , et pourquoi ?
- Comment définissez vous $\sqrt{z},z\in\C$, et si vous croyez qu'on a le droit de l'utiliser comme j'ai fait, et pourquoi ?
Merci d'avance.
> preuve de bienveillance au moins une fois dans ta
> vie.
Pourquoi dis-tu cela !?
-- Schnoebelen, Philippe
Amicalement
Pappus
Je ne résiste pas !
La réponse à ces 2 questions est simple : on ne définit ni $ \arccos (z)$ ni $ \sqrt{z}$ lorsque $z\in\C$.
La raison en est simple également : les fonctions $z\mapsto \cos(z)$ et $z\mapsto z^2$ ne sont pas injectives !
Une 2ème raison est que même si on les définit sur des restrictions de $\C$, ces fonctions ne vérifient plus les propriétés auxquelles on est habitué dans $\R$.
Par exemple, on n'aura plus $\sqrt{z_1z_2}=\sqrt{z_1}\sqrt{z_2}$ en général.
Pour finir, ta méthode n'en est pas une tant que tu n'as pas su convaincre quelqu'un de son intérêt, ou simplement que tu as pu résoudre un problème grâce à cette méthode.
Reviens avec une vraie méthode si tu en trouves une, en nous prouvant que TU as réussi à l'utiliser dans un cas concret.
Vous défendez beaucoup la notion d'unicité des fonctions pour qu'elle soit vérifiée tout le temps. Quel est le but ... ? Est ce que vous n'utilisez pas souvent en théorie des distributions, des espaces de Banach muni d'une famille dénombrables de semi - normes ? Pourquoi ces gens là n'utilisent pas une et une seule norme pour faire des calculs sur leur espace de Banach ... ? Donc, votre argumentation échoue.
Quel est le but que la racine carré vérifie $ \sqrt{z_1 z_{2}} =\sqrt{z_{1}} \sqrt{z_2} $ sur tout $ \mathbb{C} $, si à priori, on travaille dans un domaine où la formule $ \sqrt{z_1 z_{2}} =\sqrt{z_{1}} \sqrt{z_2} $ se modifie légèrement autrement par rapport à celle qu'on connait dans $ \mathbb{R} $ dans chaque détermination ... parce que ça dépend de la détermination de la fonction racine carrée ... ! revenir au cours un peu plus détaillé que ce qu'on trouve sur le net ... parce que le mien, je l'ai perdu ... ! Je me souviens bien avoir déterminé dans une séance de cours à la fac, comment se transforment $ \sqrt{z_1 z_{2}} =\sqrt{z_{1}} \sqrt{z_2} $ par rapport à chaque détermination ... A vous de m'expliquer comment .... parce que moi, j'ai oublié ... sincèrement ... chaque détermination à sa propre formule qui remplace la formule : $ \sqrt{z_1 z_{2}} =\sqrt{z_{1}} \sqrt{z_2} $ dans $ \mathbb{R} $ ... Vous n'avez jamais regardez ça dans une séance de cours ... ?
bisam, désolé pour toi ... ce que tu nous expliques dans ton dernier poste n'est pas tellement convaincant ... Vous ne faites pas preuve d'imagination ... (td)
Cordialement.
Tu implores de l'aide http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,714281,726048#msg-726048
et tu envoies promener ceux qui te répondent sérieusement.
Chercher l'erreur !
AD
( Bonsoir pappus Quel honneur de te rencontrer sur mon fil.
J'ai abouti à à fin de mon travail, à une formule qui s'écrit comme suit :
$$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y \Big) \Big( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y \Big) $$
avec : $ r_{1}^{2} = a_2 $ et $ r_{2}^{2} = a_0 $.
On fait une légère simplification en posant comme particularité : $ t = - \mathrm{arcos} ( \frac{a_{1}}{2 r_{1} r_{2} } ) $, et on obtient :
$$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 x + r_2 e^{- i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} }) } y \Big) \Big( r_{1} x + r_{2} e^{ i \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} }) } y \Big) $$
avec : $ r_{1}^{2} = a_2 $ et $ r_{2}^{2} = a_0 $.
C'est à dire :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 x + r_2 \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } - i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) \Big( r_1 x + r_2 \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } + i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) $
Jusqu'à arriver à :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 x + \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} } - i \sqrt{ r_{2} - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) \Big( r_1 x + \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} } + i \sqrt{ r_{2} - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) $
Donc, pour l'équation : $ x^2 = 0 $, on a $ a_2 = 1 $ ce qui implique que $ r_1 = 1 $ et, on a : $ a_1 = a_0 = 0 $, on remplace dans la factorisation précédente, et on obtient :
$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( 1 x + \Big( \frac{0}{ 2 \times 1 } - i \sqrt{ 0 - \Big( \frac{0}{ 2 \times 0 } \Big)^{2} } \Big) y \Big) \Big( 1 x + \Big( \frac{0}{ 2 \times 1 } + i \sqrt{ 0 - \Big( \frac{0}{ 2 \times 1 } \Big)^{2} } \Big) y \Big) $
C'est à dire :
$$ x^2 = ( 1x+0y)(1x+0y) $$
Cordialement.
C'est quand même consolant de savoir que si on a oublié la factorisation de $X^2$, on dispose encore de ta méthode pour la retrouver. Merci Pablo!
Il serait intéressant aussi de s'attaquer à cette même factorisation en caractéristique $p$
Comme c'est la nouvelle année chinoise aujourd'hui, je te souhaite une bonne année du Dragon, remplie de fructueuses factorisations ainsi qu'à tous nos amis asiatiques ou autres qui fréquentent notre forum avec une mention particulière pour JLT qui me semble avoir une bonne raison de fêter le Têt d'autant plus qu'il sait l'orthographier correctement en vietnamien, ce qui n'est pas mon cas!
Très amicalement
Pappus
à l'occasion du Tết (mot que je tape grâce à Avim pour Firefox et que tu n'utilises apparemment pas), je te souhaite également une excellente année remplie de géométrie affine, Euclidienne, projective et différentielle.
Maintenant que ces deux problématiques sont mises en clarté ( Inversion des fonctions $ x \to x^2 $ et $ x \to \cos (x) $ dans $ \mathbb{C} $ ), est ce qu'on peut admettre désormais, qu'une telle factorisation est valable et existe, et qu'on peut utiliser en toute certitude en algèbre ?
Merci d'avance.
Puisque tu ne peux pas utiliser les racines carrées et arc cosinus, ta "factorisation" devient sans intérêt.
Mais tu n'as probablement ni vraiment lu le message de Bisam, ni compris le sens des messages de Pappus !!
Tu t'enfonces ! Tu t'enfonces !
On ne munit pas $ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = 0 $, d'une seule fonction $ x \to \mathrm{arccos} (x) $, mais d'une famille $ \mathrm{arccos} = ( \mathrm{arcos}_{\theta} (x) )_{\theta \in \mathbb{R} } $ de fonctions ( déterminations ) avec $ \theta $ une borne de l'intervalle sur quel une détermination de $ \mathrm{arccos} $ est définie. La même chose se fait pour la fonction $ x \to \sqrt{x} $.
Bref, $ \forall x , y \in \mathbb{C} $ tel que : $ \cos ( x ) = y $, il existe $ \theta \in \mathbb{R} $, telle que : $ x = \mathrm{arccos}_{\theta} ( y ) $.
$ \forall x \in \mathbb{C} \ \ \exists \theta \in \mathbb{R} $ tel que : $ \cos ( \mathrm{arcos}_{\theta} (z)) = z $, et généralement : $ \mathrm{arcos}_{\theta} ( \cos (z)) \neq z $ ( Cette dernière formule ne nous intéresse pas, car elle n'intervient pas dans la factorisation :
$$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y \Big) \Big( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y \Big) $$
Est ce qu'il reste quelques choses à rectifier encore ?
Merci d'avance.
Ca n'a juste pas de sens (et surtout le résultat obtenu ne présente vraiment aucun intérêt).
Eric
Le raisonnement que j'ai suivi depuis le départ est bien fondé, même s'il existe une infinité de factorisation.
En plus, je ne prétends pas dire que cette méthode présente un grand intérêt ... Cela commencera à devenir interessant si on puisse prolonger cette même méthode à d'autres équations algébriques de degré supérieur à $2$.
C'est ce que j'essaye de faire dans l'étape qui suit. mais, je n'y arrive pas encore. Mais, je ne vais pas baisser les bras.
Ce que je comprends par là, est que le système d'équations de Viète ( Système de fonctions symétriques des racines qui sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.) qui se met sous forme d'une application à plusieurs variables, ne peut pas être bijective ( à cause de la non injectivité sur son domaine de définition ). Ce qui rend le problème un peu difficile. Il faut travailler sur des domaines de restrictions où la fonction est injectives. comme je viens de faire pour les équations de second degré. ( $ \mathrm{arccos} , \sqrt{\cdots} $ ... etc ).
Cordialement.
Tu sais pourquoi il existe une infinité de factorisation ? Je te donne un exemple :
$ x^2 - xy + y^2 = \Big( x + \Big( - \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \Big) y \Big) \Big( x + \Big( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \Big) y \Big) $
$ = \Big( 2 x + \Big( - 1 + i 3 \Big) y \Big) \Big( \frac{1}{2} x + \Big( - \frac{1}{4} - i \frac{\sqrt{3}}{4} \Big) y \Big) = ... = $
$ = \Big( \sqrt{2} x + \Big( - \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{3 \sqrt{2}}{2} \Big) y \Big) \Big( \frac{\sqrt{2}}{2} x + \Big( - \frac{\sqrt{2}}{4} - i \frac{3 \sqrt{2}}{4} \Big) y \Big) $
Tu comprends maintenant pourquoi il existe plusieurs factorisation ?
Blague à part ce qui nous concerne ce sont les définitions multiples de tes racines carrées, suivant
les coefficients du polynôme...
Bref, tu n'as fait que réinventer la roue, ni plus ni moins.
Eric
Pourrais-tu nous donner avec ta méthode toutes les factorisations possibles de $X^2$?
Pour ma part, j'en ai trouvé tout un petit paquet par récurrence!
Amicalement
Pappus
Alors :
$$ a_2 x^2 + a_1 xy + a_0 y^2 = \Big( r_1 e^{i ( t_{2} + \mathrm{arccos}_{\theta} ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_2 e^{i t_{2} } y \Big) \Big( r_{1} e^{- i ( t_{2} + \mathrm{arccos}_{\theta} ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } x + r_{2} e^{- i t_{2} } y \Big) $$
Par sysmetrie ( C'est à dire, on remplace $ x $ par $ y $ et $ y $ par $ x $ ), on obtient :
$$ a_0 x^2 + a_1 xy + a_2 y^2 = \Big( r_2 e^{i t_{2} } x + r_1 e^{i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } y \Big) \Big( r_{2} e^{- i t_{2} } x + r_{1} e^{- i ( t_{2} + \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } y \Big) $$
C'est à dire :
$$ a_0 x^2 + a_1 xy + a_2 y^2 = \Big( r_2 e^{i t_{2} } x + r_1 e^{i ( t_{2}} e^{ \arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } y \Big) \Big( r_{2} e^{- i t_{2} } x + r_{1} e^{- i ( t_{2} } e^{\arccos ( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } ) ) } y \Big) $$
C'est à dire :
$$ a_0 x^2 + a_1 xy + a_2 y^2 = \Big( r_2 e^{i t_{2} } x + r_1 e^{i t_{2} } \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } - i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) \Big( r_2 e^{- i t_{2} } x + r_1 e^{- i t_{2} } \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } + i \sqrt{ 1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{1} r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) $$
C'est à dire :
$$ a_0 x^2 + a_1 xy + a_2 y^2 = \Big( r_2 e^{i t_{2} } x + e^{i t_{2} } \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{2} } - i \sqrt{ r_1 - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) \Big( r_2 e^{- i t_{2} } x + e^{- i t_{2} } \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{2} } + i \sqrt{ r_{1} - \Big( \frac{a_{1}}{ 2 r_{2} } \Big)^{2} } \Big) y \Big) $$
avec : $ r_2 = 1 $ et $ r_1 = 0 $
On obtient :
$$ x^2 = \Big( e^{i t_{2} } x + e^{i t_{2} } \times 0 \times y \Big) \Big( e^{- i t_{2} } x + e^{- i t_{2} } \times 0 \times y \Big) $$
C'est à dire :
$$ x^2 = \Big( e^{i t_{2} } x + 0 y \Big) \Big( e^{- i t_{2} } x + 0 y \Big) $$
Cordialement.
Moi, j'avais montré plus modestement après quelques difficultés (heureusement vite résolues), par récurrence sur $n \in N^*$ que: $X^2 = (nX)(\frac 1 n X)}$.
Ce n'est pas tout à fait la même chose que toi mais à quelque chose malheur est bon puisque nous avons maintenant deux familles de factorisations totalement différentes.
Ce soir, je vais essayer de voir si les miennes se généralisent en caractéristique $p$, ce serait une généralisation hardie.
Amicalement
Pappus
voici effectivement deux familles de factorisations ; je me perds en conjectures:)-D
J'ai même pensé que l'une était fausse mais je crois que, là, la communauté mathématique va être estomaquée !
la formule de Pablo généralise celle de Pappus : Il suffit de prendre $t_2=-i\ln(n)$.
Tu vois, Pappus, toi, tu n'as pas été vraiment capable de réinventer l'eau chaude. Dommage !