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Matrice de trace nulle

Envoyé par CQG 
CQG
Matrice de trace nulle
il y a huit années
Bonjour,
On considère une matrice $A\in M_n(\C)$ telle que $\left<x,Ax\right>\ge 0$ pour tout $x\in \C^n$. On suppose également $A$ de trace nulle. A-t-on $A=0$ ?
Merci.
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
avatar
La notation $ \left<\ ,\ \right>$ désigne-t-elle le produit scalaire hermitien ?
CQG
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Oui tout à fait !
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Ca me parait difficile de dire $\left<x,Ax\right>\ge 0$ puisqu'on ne peut pas dire que $\left<x,Ax\right>$ est
un nombre réel... mais du coup si tu rajoutes $A$ hermitienne la réponse devient évidente.

Eric
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Mais cette condition est donnée... Et entraîne le fait que la matrice est hermitienne je ne comprends pas la remarque. Et du coup pourquoi est ce évident ?
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Hermitienne, positive de trace nulle....

Eric
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Hermitienne donc diagonalisable. De trace nulle donc de valeurs propres nulles. donc nulle
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Il manque un bout dans le raisonnement mais la conclusion est juste winking smiley

Eric
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Il manque le fait que les coefficients diagonaux sont positifs (on le montre en choisissant pour x les vecteurs de la base canonique). Donc trace nulle + coefficients diagonaux positifs impliquent valeurs propres nulle ?
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Oui (néanmoins ce n'est pas super bien formulé, on n'utilise pas le fait que les coefficients diagonaux sont positifs
mais que les coefficients diagonaux de A, dans une base diagonalisant celle-ci, sont positifs. Il ne faut pas ommettre ce détail).

Eric
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
avatar
Je pense que l'on utilise le fait qu'une matrice hermitienne est diagonalisable {\bf dans une base orthonormée}.
Sinon je ne vois pas pourquoi ses éléments diagonaux seraient positifs.
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
Disons qu'on utilise l'aspect orthonormé d'une base diagonalisant A
pour conserver le caractere positif du produit scalaire de l'énoncé et pouvoir transferer le problème dans cette base.
Mais à partir du moment ou tu as trouvé une base dans laquelle A est diagonale,
si tu la transformes en une autre matrice diagonale dans une autre base même
non orthonormée ca ne changera pas vraiment les valeurs propres...

Eric
Re: Matrice de trace nulle
il y a huit années
avatar
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