Matrice de trace nulle

CQG
CQG
dans Algèbre
Bonjour,
On considère une matrice $A\in M_n(\C)$ telle que $\left<x,Ax\right>\ge 0$ pour tout $x\in \C^n$. On suppose également $A$ de trace nulle. A-t-on $A=0$ ?
Merci.

Réponses

  • Archimède
    Archimède
    La notation $ \left<\ ,\ \right>$ désigne-t-elle le produit scalaire hermitien ?
  • CQG
    CQG
    Oui tout à fait !
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Ca me parait difficile de dire $\left<x,Ax\right>\ge 0$ puisqu'on ne peut pas dire que $\left<x,Ax\right>$ est
    un nombre réel... mais du coup si tu rajoutes $A$ hermitienne la réponse devient évidente.

    Eric
  • fanf
    fanf
    Mais cette condition est donnée... Et entraîne le fait que la matrice est hermitienne je ne comprends pas la remarque. Et du coup pourquoi est ce évident ?
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Hermitienne, positive de trace nulle....

    Eric
  • fanf
    fanf
    Hermitienne donc diagonalisable. De trace nulle donc de valeurs propres nulles. donc nulle
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Il manque un bout dans le raisonnement mais la conclusion est juste ;-)

    Eric
  • fanf
    fanf
    Il manque le fait que les coefficients diagonaux sont positifs (on le montre en choisissant pour x les vecteurs de la base canonique). Donc trace nulle + coefficients diagonaux positifs impliquent valeurs propres nulle ?
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Oui (néanmoins ce n'est pas super bien formulé, on n'utilise pas le fait que les coefficients diagonaux sont positifs
    mais que les coefficients diagonaux de A, dans une base diagonalisant celle-ci, sont positifs. Il ne faut pas ommettre ce détail).

    Eric
  • Archimède
    Archimède
    Je pense que l'on utilise le fait qu'une matrice hermitienne est diagonalisable {\bf dans une base orthonormée}.
    Sinon je ne vois pas pourquoi ses éléments diagonaux seraient positifs.
  • Eric Chopin
    Eric Chopin
    Disons qu'on utilise l'aspect orthonormé d'une base diagonalisant A
    pour conserver le caractere positif du produit scalaire de l'énoncé et pouvoir transferer le problème dans cette base.
    Mais à partir du moment ou tu as trouvé une base dans laquelle A est diagonale,
    si tu la transformes en une autre matrice diagonale dans une autre base même
    non orthonormée ca ne changera pas vraiment les valeurs propres...

    Eric
  • Archimède
    Archimède
    Bien sûr !
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