tout copolynôme non coconstant à cocoefficients cocomplexes admet une coracine?
Blague à part, est-ce que tes cogèbres sont de dimension finie?
Dans ce cas, cela pourrait être la dualité entre la catégorie des algèbres et celles de cogèbres? mais bon, c'est pas très passionnant, ça doit découler de Yoneda.
Tu pourrais nous donner le contexte dans lequel ce théorème fondamental a été cité?
J'aime la blague
Oui désolé, le contexte doit être d'autant plus important que les résultats que je trouve sur Google ne disent pas la même chose (ou sont peut être des formulations équivalentes mais ça ne me saute pas aux yeux). Par ailleurs les cogèbres ne sont pas nécessairement de dimension finie.
Le théorème est cité pour prouver un lemme sur une cogèbre $(C,\Delta,\epsilon)$ quelconque : on se donne une forme linéaire $f$ sur la cogèbre $C$ à valeurs dans $\C$. Alors la série exponentielle $$exp_{\star}f(b)=\epsilon(b)+f(b)+\frac{1}{2}f\star f(b)+\dots$$ converge pour tout $b\in C$, où $\star$ représente la convolution $f\star g=m\circ(f\otimes g)\circ\Delta$ avec $m$ la multiplication sur $C$ et $\Delta$ le coproduit.
C'est peut être encore un peu vague, le seul théorème que je trouve qui pourrait se rapproche du contexte ci dessus est :"tout élément d'une cogèbre $(C,\Delta,\epsilon)$ est contenu dans une sous-cogèbre $D$ ($\Delta(D)\subset D\bigotimes D$) de dimension finie".
Mais la démonstration du lemme est alors laissée au lecteur...
Si tu sais faire
Mmmh, je ne suis pas très familier avec tout ça. Mais disons que si tu peux te ramener au cas d'une cogèbre de dimension finie, alors par dualité, tu dois pouvoir retraduire le résultat à démontrer en un résultat concernant une algèbre de dimension finie, ce qui est a priori plus simple.
Intuitivement, ton résultat devrait se ramener à la convergence de la série exponentielle classique dans une algèbre de Banach, ou un truc du genre, non?
Y a rien de sorcier. C'est juste prendre le dual de tous tes diagrammes définissant les axiomes de cogèbres. Le dual d'une cogèbre est une algèbre.
La dimension finie te permet de repasser dans l'autre sens (le dual d'une algèbre de dim. finie est une cogèbre; ça se voit en utilisant l'iso $A^*\otimes A^*=(A\otimes A)^*$ qui est vrai en dim. finie)
Ok pour ton dernier message, c'est pas sorcier en effet.
Pour la convergence le problème c'est qu'on n'a pas de norme... Je ne vois pas comment, du coup, commencer.
Je ne résiste pas à la tentation... Dans un séminaire, il était question d'une limite projective introduite par Alain Connes... ce qui a mené à une longue (et sérieuse) discussion pour savoir si la chose était la limite du cône de Connes ou du co-cône de Connes!
@fanf: Ben de toute façon, il faut déjà savoir ce qu'on entend par convergence dans une cogèbre à valeurs dans $\C$ , et ça , il n'y a que toi qui puisse savoir le contexte. ça doit être défini forcément quelque part avant l'énoncé de ton lemme. Je suppose que cogèbre à valeurs dans $\C$ ça veut dire que toutes les applications sont $\C$-linéaires, non? et qu'une forme linéaire, c'est un machin $\C$-linéaire $f: C\to\C$ ?
Du coup, pour la convergence dans ta cogèbre, ça doit être la convergence dans $\C$.
Je ne peux que spéculer, vu le peu d'info que tu nous donnes....
Réponses
Blague à part, est-ce que tes cogèbres sont de dimension finie?
Dans ce cas, cela pourrait être la dualité entre la catégorie des algèbres et celles de cogèbres? mais bon, c'est pas très passionnant, ça doit découler de Yoneda.
Tu pourrais nous donner le contexte dans lequel ce théorème fondamental a été cité?
Oui désolé, le contexte doit être d'autant plus important que les résultats que je trouve sur Google ne disent pas la même chose (ou sont peut être des formulations équivalentes mais ça ne me saute pas aux yeux). Par ailleurs les cogèbres ne sont pas nécessairement de dimension finie.
Le théorème est cité pour prouver un lemme sur une cogèbre $(C,\Delta,\epsilon)$ quelconque : on se donne une forme linéaire $f$ sur la cogèbre $C$ à valeurs dans $\C$. Alors la série exponentielle $$exp_{\star}f(b)=\epsilon(b)+f(b)+\frac{1}{2}f\star f(b)+\dots$$ converge pour tout $b\in C$, où $\star$ représente la convolution $f\star g=m\circ(f\otimes g)\circ\Delta$ avec $m$ la multiplication sur $C$ et $\Delta$ le coproduit.
C'est peut être encore un peu vague, le seul théorème que je trouve qui pourrait se rapproche du contexte ci dessus est :"tout élément d'une cogèbre $(C,\Delta,\epsilon)$ est contenu dans une sous-cogèbre $D$ ($\Delta(D)\subset D\bigotimes D$) de dimension finie".
Mais la démonstration du lemme est alors laissée au lecteur...
Si tu sais faire
Intuitivement, ton résultat devrait se ramener à la convergence de la série exponentielle classique dans une algèbre de Banach, ou un truc du genre, non?
La dimension finie te permet de repasser dans l'autre sens (le dual d'une algèbre de dim. finie est une cogèbre; ça se voit en utilisant l'iso $A^*\otimes A^*=(A\otimes A)^*$ qui est vrai en dim. finie)
Pour la convergence le problème c'est qu'on n'a pas de norme... Je ne vois pas comment, du coup, commencer.
La proposition 1 du premier lien répond à la question non?
Du coup, pour la convergence dans ta cogèbre, ça doit être la convergence dans $\C$.
Je ne peux que spéculer, vu le peu d'info que tu nous donnes....