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Somme de forme linéaires

Envoyé par fanf 
Somme de forme linéaires
il y a huit années
Bonjour.
On se donne une algèbre (qui possède des propriétés "particulières" que je ne détaille pas je ne crois pas que cela soit important pour ma question) $A$, et $(a_1,\dots,a_n)$ $n$ éléments de $A$. On considère le sous-espace de $A^n$ suivant : $$W=\{(ba_1,\dots,ba_n) : b\in A\}.
$$ On veut prouver qu'il existe un élément $e\in A$ tel que $ea_i=a_i,\ \forall i$ (l'existence de cet élément vient de ces propriétés "particulières" bien sûr... C'est une sorte d'unité locale, $A$ est donc a priori non unitale...). Ceci équivaut au fait que $(a_1,\dots,a_n)\in W$. On suppose par l'absurde que ce n'est pas le cas. Alors, on se donne $n$ formes linéaires $w_i$ telles que $$\sum_i w(ba_i)=0,\ \forall b\in A,\quad\text{mais}\quad \sum_i w(a_i)\ne 0.$$
Je ne vois pas comment on trouve ces formes linéaires... (et je pense donc que ce qui me manque c'est un raisonnement d'algèbre linéaire et ne repose pas sur les propriétés de $A$).
Merci pour votre aide !
JLT
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
avatar
$a=(a_1,\ldots,a_n)$ est un point de $A^n$ qui n'est pas dans le sous-espace $W$ donc il existe un hyperplan contenant $W$ et pas $a$. Tout hyperplan est le noyau d'une forme linéaire. Or, la donnée d'une forme linéaire sur $A^n$ équivaut à celle de $n$ formes linéaires sur $A$.
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
Merci pour ta réponse !
L'équivalence que tu évoques est-elle :
$$A^*\times\dots\times A^*\to A^{n^*},(f_1,\dots,f_n)\mapsto F$$
avec $F(a_1,\dots,a_n)=\sum_if(a_i)$ ?
Sinon je ne vois pas comment conclure.
JLT
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
avatar
Oui bien sûr.
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
Entendu, merci !
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
Qu'entends-tu par «algèbre»? Est-ce sur un corps? Car sinon la Z algèbre A = 2Z montre que le raisonnement de JLT fait certains présupposés tacites. Je prends n=1, A=2Z, a=2, W=4Z. Je ne vois pas comment trouver une forme linéaire L de A vers A s'annulant sur W et ne s'annulant pas sur a, puisque 2a est dans W et que A est intègre.
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
J'étudie les groupes quantiques algébriques au sens de Van Daele mais je pense que pour ma question la structure à considérer est l'algèbre sur $\C$ sous-jacente.
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
si $A=L^1(\mathbb R)$ muni du produit de convolution, on choisit $g$ dans $A$ bornée et non continue, alors $g * f \neq f$ pour toute $f\in A$ car $g*f$ est continue, bref l'énoncé de départ est faux même pour $n=1$. En fait comment est définie ton algèbre?

Autre ex moins pompeux: soit $A:=\mathbb R$ et $\varphi:x,y\mapsto 0$. Alors $(A,\varphi)$ est une $\mathbb R-$algèbre associative dans laquelle le résultat est faux.
Re: Somme de forme linéaires
il y a huit années
Je n'ai pas dit que l'énoncé de départ est vrai pour toutes les algèbres au contraire j'ai précisé que la structure considérée était assez particulière. Je voulais juste qu'on m'aide sur le résultat d'algèbre linéaire et j'ai précisé qu'on se plaçait dans une algèbre simplement pour justifier les produits $ba_i$ ; j'aurais du adapter à un cadre d'espaces vectoriels sur $\C$ directement...
Sinon j'ai dit ce qu'était la structure considérée : voir au dessus du message de Foys...
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