Somme de forme linéaires
Bonjour.
On se donne une algèbre (qui possède des propriétés "particulières" que je ne détaille pas je ne crois pas que cela soit important pour ma question) $A$, et $(a_1,\dots,a_n)$ $n$ éléments de $A$. On considère le sous-espace de $A^n$ suivant : $$W=\{(ba_1,\dots,ba_n) : b\in A\}.
$$ On veut prouver qu'il existe un élément $e\in A$ tel que $ea_i=a_i,\ \forall i$ (l'existence de cet élément vient de ces propriétés "particulières" bien sûr... C'est une sorte d'unité locale, $A$ est donc a priori non unitale...). Ceci équivaut au fait que $(a_1,\dots,a_n)\in W$. On suppose par l'absurde que ce n'est pas le cas. Alors, on se donne $n$ formes linéaires $w_i$ telles que $$\sum_i w(ba_i)=0,\ \forall b\in A,\quad\text{mais}\quad \sum_i w(a_i)\ne 0.$$
Je ne vois pas comment on trouve ces formes linéaires... (et je pense donc que ce qui me manque c'est un raisonnement d'algèbre linéaire et ne repose pas sur les propriétés de $A$).
Merci pour votre aide !
On se donne une algèbre (qui possède des propriétés "particulières" que je ne détaille pas je ne crois pas que cela soit important pour ma question) $A$, et $(a_1,\dots,a_n)$ $n$ éléments de $A$. On considère le sous-espace de $A^n$ suivant : $$W=\{(ba_1,\dots,ba_n) : b\in A\}.
$$ On veut prouver qu'il existe un élément $e\in A$ tel que $ea_i=a_i,\ \forall i$ (l'existence de cet élément vient de ces propriétés "particulières" bien sûr... C'est une sorte d'unité locale, $A$ est donc a priori non unitale...). Ceci équivaut au fait que $(a_1,\dots,a_n)\in W$. On suppose par l'absurde que ce n'est pas le cas. Alors, on se donne $n$ formes linéaires $w_i$ telles que $$\sum_i w(ba_i)=0,\ \forall b\in A,\quad\text{mais}\quad \sum_i w(a_i)\ne 0.$$
Je ne vois pas comment on trouve ces formes linéaires... (et je pense donc que ce qui me manque c'est un raisonnement d'algèbre linéaire et ne repose pas sur les propriétés de $A$).
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Réponses
L'équivalence que tu évoques est-elle :
$$A^*\times\dots\times A^*\to A^{n^*},(f_1,\dots,f_n)\mapsto F$$
avec $F(a_1,\dots,a_n)=\sum_if(a_i)$ ?
Sinon je ne vois pas comment conclure.
Autre ex moins pompeux: soit $A:=\mathbb R$ et $\varphi:x,y\mapsto 0$. Alors $(A,\varphi)$ est une $\mathbb R-$algèbre associative dans laquelle le résultat est faux.
Sinon j'ai dit ce qu'était la structure considérée : voir au dessus du message de Foys...