exercice sur les polynômes

Hibatoullah · April 2012

Salut,
Pourriez-vous m'aider SVP.

Soit f : K(X) à K(X) définie par f(P(X)) = P(X+1) - P(X)
1) Montrer que f est un endomorphisme. Déterminez son noyau.
2) Montrer que pour tout n,p appartenant à N on a : f^n(X^p) = 0 si p<n et f^n(X^p) = n! si p=n.

Pour la première question je l'ai faite [***], mais pour la 2ème je suis vraiment bloquée.
Et merci d'avance.

[J'ai supprimé un mot inconnu du dictionnaire français. AD]

Seirios · April 2012

Bonjour,

Pour la première égalité, tu devrais regarder le degré de f(P) en fonction de celui de P ; pour la seconde égalité, un raisonnement par récurrence devrait suffire (en passant par le binôme de Newton et la linéarité de f).

gilles benson · April 2012

peut-être faut-il comprendre que f^n(X^p) se traduit par $ \underbrace{f \circ f \circ f \circ \dots \circ f }_{n \text{ fois }} \left( X^p \right) $

EDIT: curieusement quand je clique sur le code lateX, rien ne se passe; j'avais donc mal placé mon accolade.

gilles benson · April 2012

j'ajoute que pour réussir cet exercice, il convient mon sens de chercher la matrice de l'endomorphisme $f$ dans la base canonique de $\R_{n}[X]$ pour constater que cette matrice possède une forme bien spécifique

Hibatoullah0 · April 2012

oui f^n(X^p) est bien fof(n fois)(X^p).
Et merci pour vos réponses

Hibatoullah0 · April 2012

SVP toujours dans le même exercice on nous demande de considérer f=T-id,avec T(P)=P(X+1),montrer que:
sigma(k=0 à n)(-1)^k *(n C k )*(X-k)^p=0 si p<n
et sigma(k=0 à n)(-1)^k*(n C k )*(X-k)^p=n! si p=n
J'ai appliqué la formule de binôme de Newton a f^n(X^p) et je trouve:
f^n(X^p)=(-1)^n*( sigma(k=0 à n)(-1)^k *(n C k )*(X-k)^p)
donc la première égalité c'est bon!
Mais pour la 2ème je trouve comme résultat n!/(-1)^n et non pas n!.
Et merci d'avance!

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