Preuves de l'irrationalité de racine de 2

On pourrait reformuler ce dernier point de vue sous la forme d'un exercice niveau TS :

1) Soit $q$ un entier naturel non nul. Soit $U_n$ la suite définie par :
$$U_0=q\sqrt 2 \text{ et }\quad U_{n+1}=(\sqrt 2-1)U_n.$$
a) Donner la nature de la suite $U_n$
b) Donner une expression de $U_n$ en fonction de $n$ et $q$.
c) Étudier la convergence de $U_n$
d) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$:
$U_n=a_n+b_nq\sqrt 2$ où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers.
e) On veut démontrer que $\sqrt 2$ n'est pas un nombre rationnel.
Supposons que $\sqrt 2=\dfrac{p}{q}$ , $p$ , $q$ entiers naturels non nuls.
Montrer que pour tout $n$ entier, $U_n$ est un entier naturel non nul.
En déduire une contradiction et conclure.

Pour la preuve suggérée par BS:

Si $\sqrt 2=\dfrac{p}{q}$ , avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls alors $p^2=2q^2$ et ainsi:
$\dfrac{2q-p}{p-q}=\dfrac{2q^2-pq}{q(p-q)}=\dfrac{p^2-pq}{q(p-q)}=\dfrac{p(p-q)}{q(p-q)}=\dfrac{p}{q}=\sqrt 2$

Jusqu'à là j'ai trouvé seul mais la suite est assez astucieuse et je me suis fait un peu aider:

On suppose de plus que $q$ est le plus petit entier naturel tel que $\sqrt 2=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ entier naturel.

$\dfrac{p}{q}=\sqrt 2>1$ donc $p>q$ et ainsi $p-q>0$
$\dfrac{p}{q}=\sqrt 2<2$ donc $p<2q$ et ainsi $p-q<q$

$\sqrt 2=\dfrac{2q-p}{p-q}$ a un dénominateur entier positif plus petit que $q$, cela ne se peut pas.

Voir ici:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml
C'est une compilation de preuves.