Propriétés vraies pour tous les groupes

Je crois que c'est plutôt une conjecture de Gromov.

de mon tel et je salue le retour de JLT!!!

Mais la conjecture vue comme ca est fausse a cause.du fait que le probleme de savoir si un enonce qui commence par des quelquesoit puis suit par une implication d une egalite par une conjonction d egalites est vraie dans tous les groupes est indecidable. Donc doit y avoir une sacree restriction sur le genre d enonce autorise

Sylvain : si tu jettes un coup d'oeil sur des articles de Gromov, tu verras qu'ils ne sont pas très formels. L'idée de Gromov est que si on a un énoncé E du type "tout groupe vérifie la propriété P", et qu'on n'arrive pas à démontrer cet énoncé en quelques lignes, alors il vaut mieux chercher un contre-exemple à l'énoncé E.

(Message écrit pendant celui de JLT, je laisse quand même).

J'ai cherché un peu sur le web. Dans la littérature on évoque l'idée sous les termes slogan, dictum, conjecture, voire "theorem" avec guillemets.

Je ne sais pas de quand date la première attribution, mais dans ce papier d'Ozawa page 2 daté de 2003 http://arxiv.org/pdf/math/0306067v2.pdf on lit :

Ozawa a écrit:

the famous “theorem” of Gromov claiming that a proposition which holds for all countable discrete groups is either trivial or false.

Dans cet autre article de Chatterji de 2009 à la page 2 on trouve http://aimconf.webs.com/talks/Indira_Chatterji.pdf :

Chatterji a écrit:

the following slogan, attributed to Gromov: "A statement that holds for all finitely generated groups has to be either trivial or wrong"

Et dans cet article de Collins et Dykema de 2011 à la page 1 il y a http://miami.uni-muenster.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-6303/mjm_vol_4_06.pdf :

Collins et Dykema a écrit:

Gromov’s famous paradoxical dictum (“any statement about all countable groups is either trivial or false”)

Donc c'est clairement pas de tous les groupes en général dont il s'agit.

Pour une introduction à la théorie géométrique des groupes, en français j'ai vu:
- ce texte de Pansu de 2003 http://www.math.u-psud.fr/~pansu/gral.pdf
- ce texte de Ghys de 2004 http://www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/articles/aleatoire.pdf
- et aussi des choses à partir de la page 22 de l'HDR d'Ollivier de 2009 http://www.yann-ollivier.org/rech/publs/hdr_intro.pdf

Il faut noter que pour le moment — et à ma connaissance — la question de savoir si tous les groupes finiment générés sont sofiques reste ouverte (la question est ouverte pour tous les groupes, mais je crois que même si on se restreint aux groupes finiment généré ont ne peut rien dire).

Ce qui est drôle avec cette histoire, c'est que c'est Gromov lui-même qui serait à l'origine de la définition de groupe sofique (originellement : sous-moyennable).

C'est vrai que peut-être en se restreignant à "groupes moyennables" (très peu le sont, par exemple le group elibre à 2 générateurs ne l'est pas) la question peut éventuellement se poser de savoir s'il l'ensemble des énoncés de la forme $\forall ^* : [...]$ (où $[...]$ ne contient pas de quantificateurs et $\forall ^*$ signifie une suite de $\forall$ qui se suivent ) vrais dans tous les groupes moyennables*** est récursif (ie calculable, ie il existe un programme d'ordinateur qui permet de savoir si un élément est dedans ou non)

Mais ce sont des groupes bien particuliers.


*** groupe sur lesquels il existe une mesure de proba (pas forcément sigma additive d'ailleurs, mais par contre dont on va demander qu'elle mesure toutes les parties de $G$ sinon c'est pas du jeu) $m$ telle que $m(\{x | a.x\in X\}) = m(X)$ pour tous $a\in G, X\subseteq G$