Groupes
Réponses
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@ninou, je reviens sur ton mot "normalisateur" car le grand savant m'a retéléphoné aujourd'hui et quand je lui ai dit qui est Bu, il s'est senti invité à me donner des précisions (à moi qui n'y connais rien
)
(1)Théorème (parait-il): soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. Il existe un (unique) sous-groupe de $K$ de $G$ tel que $H\subseteq K\subseteq G$ et $H$ distingué dans $K$ et tel que pour tout sous-groupe $L$ de $G$ qui n'est pas inclus dans $K$, $H$ n'est pas un sous-groupe distingué de $L$. Ce $K$ s'appelle le normalisateur de H
(2) Selon lui, ta définition $N(H):=\{x\in G| \forall y\in H: xyx^{-1}\in H\}$ vérifie qu'il se peut dans certain cas que $N(H)$ ne soit pas un sous-groupe de $G$. On ne peut donc pas l'appeler le "normalisateur de H"
(3) Selon lui, le normalisateur serait $N_2(H):=\{x\in G | x\in N(H)\ et\ x^{-1}\in N(H)\}$, mais ça te donne un petit exercice, qui serait de prouver que $N_2(H)$ est bien le groupe défini en (1) (et aussi comme exo tu peux prouver (1))
La fermeture n'est pas influencée car $N_2(H)$ sera alors une intersection de deux fermés
(Voili voilou, je ne fais que répéter hein, je n'y connais rien et n'ai pas fait l'exo d'essayer de prouver (1) ou de montrer l'équivalence entre (1) et (3), je ne fais que transmettre. Mais ça a eu suffisamment l'air d'émouvoir mon correspondant pour être signalé :S )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Il faut donc que $ H $ soit distingué dans $ G $, pour dire que $ N(H) $ est le normalisateur de $ H $.
Mais, voici ce qu'on dit dans mon cours :
Si $ H $ est un ouvert de $ G $, et donc, un fermé de $ G $, alors son normalisateur $ N(H) = \{ x \in G \ / \ xHx^{-1} \subset H \} $ est un "sous - groupe" fermé de $ G $. Il le confirme : $ N(H) $ est un "sous groupe" de $ G $.
Est ce que cela signifie que, sans cette condition : [ si $ H $ n'est pas fermé ], alors, $ N(H) $ n'est pas normalisateur ?
Et comment on fait pour l'établir ?
Merci d'avance. -
Le normalisateur d'une partie H de G (pas nécessairement un sous-groupe) est
N(H) = { g € G | g H g -1 = H } et non { g € G | g H g -1 inclus ds H } !
C'est bien un sous-groupe de G (qui contient H).
Si maintenant H est un sous-groupe de G, alors bien sûr H est normal dans N(H) (d'où le nom, et N(H) est le plus grand sur-groupe de H dans lequel H est normal), et si H est normal dans G, N(H) = G. -
Je confirme, il m'a dit ça aussi, j'avais oublié de le mentionnerAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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à ninou, je ne sais pas, il est possible que dans certains cas particuliers la définition avec inclusion marcheAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@sphinx :
Je te fais lire ça pour que tu apprennes à donner un peu d’estime à toi même, c'est à dire, n'avoir si sous estimation de soi, ni surestimation de soi ... Et parce que aussi j'aime lire ce genre d'article, parce qu'il nous faire comprendre mieux comment fonctionne notre corps, et comment il faut l'utiliser pour garder son bien être ...
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Merci @CC et @GG pour ces précisions.
Les groupes de Sylow m'ont fait fuir ce domaine de théorie des groupes depuis longtemps, parce qu'il repose sur l’arithmétique, et moi, je ne suis pas familier avec l'arithmétique, c'est pourquoi, je l'aime pas trop, mais, je n'ai pas le choix, parce que il faut que je termine ce cours d'abord, pour faire un peu de groupes et algèbres de Lie après, et pour finir vite tout le cours de Frédéric Paulin de géométrie différentielle. Je serais très heureux si jamais je réussis à le comprendre en entier. Il compte plus de 300 pages, mais, j'ai une très bonne méthode de travail qui permet de le finir rapidement.
Sans prétention.
J'ai en tête de reprendre mes études à nouveau à la fac, mais pas cette année ? -
merci c'est gentil Ninou
sinon j'essaye de garder la tête froide y a pas de miracle en maths je sais que ... et je sais pas que etc ...
et là je sais pas j'aurai bien aimé que Christophe Chalons confirme ou infirme ma petite démo du deux :
l'inter de deux fermés est fermé
je ne désire pas être hors sujet mais juste une chose concernant ton article :un individu peut se trouver très dévalorisé lorsque par ses actions son système de valeur n'a pas été respecté et là je ne pense pas que ce soit mon cas je te remercie car il ne faut pas oublier ce genre de choses et il y a aussi une autre chose que l'on ne doit jamais oublier (les frères Kamarazov de Dostoievsky) ne jamais se mentir à soi même
bon j'espère que je ne me ferai pas trop taper sur les doigts (car j'ai du boulot ici sur ce forum )
merci Ninou je te souhaite une très bonne journée un bon dimanche et bonne chasse si tu est du coté de la saphiraméthyste -
Tu veux montrer que $ \overline{A} \bigcap \overline{B} $ est fermé ?
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Tu me traduit bien ce passage, en Latex, pour voir si je peux t'aider :
" en effet si x est dans A et aussi dans B alors x est toujours dans le fermé de A et aussi dans le fermé de B mais aussi tout element qui se trouve simultanément dans A et B est toujours dans le fermé de A inter B
si je dit qu'il existe un x qui n'est pas dans le ferme de A inter B et à la frontiere de A bien qu'etant dans B il serait alors dans un ouvert de B ce qui est faux puisque B est fermé " -
bon ok mais là j'avoue je m'égare en fait je suis venu sur ce post que uniquement pour ça mais je pourrai pas rester
A et B sont munis d'une relation d'ordre et pour simplifier d'une relation d'ordre total
$\exists a_1\ \in \ A $ tel que $\nexists x\ \in \ A$ et $x\ <\ a_1$
$\exists a_2\ \in \ A $ tel que $\nexists x\ \in \ A$ et $x\ >\ a_2$
$\exists b_1\ \in \ B $ tel que $\nexists x\ \in \ B$ et $x\ <\ b_1$
$\exists b_2\ \in \ B $ tel que $\nexists x\ \in \ B$ et $x\ >\ b_2$
je considère $A \ \cap \ B \ =\ C$
je dois démontrer que
$\exists c_1\ \in \ C $ tel que $\nexists x\ \in \ C$ et $x\ <\ c_1$
$\exists c_2\ \in \ C $ tel que $\nexists x\ \in \ C$ et $x\ >\ c_2$
bon je reviens pour la demo en attendant on est d'accord ?
si j'admet le contraire uniquement
$\forall x\ \in C\ $ alors $\ \exists c\ \in \ C $ tel que $c\ <\ x$
le complementaire de C notons le $\bar C$ est comme on l'a dit fermé puis qu'il contiens au mieux des elements de A et de B mais c'est impossible car à la frontiere un element de A ou de B selon ce qu'on choisi dans ce contre exemple est l'element qui le ferme -
ça n'a rien à avoir avec ton problème de départ, en plus tu utilises des mots que je ne comprends pas , c'est quoi le fermé de $ A $ ?. Sans connaître un minimum de cours, tu ne peux rien comprendre. Je suis désolé, je ne peux pas t'aider.
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on l'a admis au depart
on a dit que A et B etants fermé demontrer que A inter B est fermé
je viens d'editer la demo peux être que tu l'a pas vu
bien sûr j'ai peut être dit des conneries
bien sûr tu as raison pour le reste mais j'était venu uniquement pour cette question 2 de Christophe Chalon je suis sûr de ma demo sous réserve de mes ignorances -
Bonjour
On n'a pas à démontrer que l'intersection de deux fermés est fermée... Ca fait partie des axiomes d'une topologie! Une intersection quelconque de fermés est fermée! -
bah si on est obligé de le démontrer puisque c'est démontrable donc c'est pas un axiome
enfin encore une fois sous réserve que ma demo soit valable et sous reserve de mes ignorances je crois qu'ici il vaut mieux le préciser car j'attend le pavé et je veux pas me le prendre dans la figure ... -
... et d'ailleurs en général dans un espace topologique, ou un groupe topologique il n'y a pas de relation d'ordre!
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merci Magnolia
là je decroche chacun son niveau mais pas tout à fait encore :
là je prend des risque quitte à dire une bêtise mais quand même excusez pour ce qui suit
"A est fermé " si je dit ça c'est que ça sous entend l'une des quatres choses suivantes
soit A est muni de classes de relations d'ordres soit il est muni d'une relation d'ordre total soit il est munis de classes de relations d'equivallences soit il est muni d'une equivallence totale
si c'est pas vrai je declare forfait et je m'excuse pour la gêne occasionnée en arguant du fait que mon niveau ne m'interdit pas d'essayer de dire une chose que je pense vraie sincèrement -
Non, ce n'est pas vrai! Au lieu d'essayer de deviner, lis les définitions!
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E est un espace topologique et dans E je considere deux fermés que je nomme A et B
on en reviens à la demo que j'ai fait precisement avant même si dans cette demo je n'avais pas pose que A et B sont des fermés dans un ouvert E je prenais uniquement que les fermés A et B et le complementaire de A inter B dans l'ensemble A union B
donc ma demo epurée de E ou pas reste valable car A inter B se trouve dans A union B et que si A et B sont fermés alors A union B est fermé
de sorte que le complementaire de A inter B vis à vis de A union B est lui aussi fermé
de sorte que je peux tres bien construire l'une des quatres structures précités dans A union B et en conclure avec ma demo qui utilise une relation d'ordre total
sincerement sphinx -
Comme tu voudras...
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Bonsoir tout le monde,
@Magnolia :On n'a pas à démontrer que l'intersection de deux fermés est fermée ... Ca fait partie des axiomes d'une topologie ! Une intersection quelconque de fermés est fermée !
Es-tu certaine de ce que tu dis (partie graissée) ? Si oui, peux-tu expliciter ?
@Modérateurs : Je ne vois pas l'intérêt de maintenir Pablo dans un état de bannissement permanent avec le compte « Pablo », alors que celui-ci peut intervenir librement et à tout moment sous d’autres pseudo. Peut-on m’expliquer ?
Avec tout mon respect,
T. PomaLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Bien sur ça dépend si on a défini la topologie par les ouverts ou les fermés! Une topologie sur un ensemble $E$ est la donnée d'une famille de parties de $E$ que l'on appelle ...
première option: les ouverts de la topologie; la dite famille est stable par réunion quelconque et par intersection finie. On appelle un fermé pour la topologie une partie dont le complémentaire est un ouvert.
deuxième option: les fermés de la topologie; la dite famille est stable par réunion finie et par intersection quelconque. On appelle un ouvert pour la topologie une partie dont le complémentaire est un fermé.
Il est clair que les deux options sont équivalentes! Donc le fait que l'intersection de deux fermés est fermée, est ou bien un axiome, ou bien une conséquence immédiate de la première option. En aucun cas, on n'a pas à faire intervenir les particularités d'une situation donnée... -
Bonsoir Magnolia,Donc le fait que l'intersection de deux fermés [soit] fermée, est ou bien un axiome, ou bien une conséquence immédiate de la première option.
Je te remercie d'avoir précisé ta pensée qui méritait un éclaircissement.
Avec tout mon respect,
T. PomaLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
skyrmion je n'ai jamais dit que j'étais exhaustive... (et j'ai déjà un orage - un vrai - qui gronde...)
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Magnolia dans la deuxieme option
manque de connaissance de ma part mais incompréhension totale je declare forfait!
Dans la deuxieme option on appelle ouvert une partie dont le complementaire est un fermé
je pose E et deux parties A et B de E
je pose A et B sont fermés (or ça a été posé dans la phrase A et B sont fermés démontrer que A inter B est fermé) alors A inter B est fermé est un axiome de cette topologie
admettons A inter B est ouvert
A union (A inter
= A
cela signifie que j'ai defini une partie ouverte dans un fermé ce qui est possible
par exemple dans $\mathbb {R}$
A=[a,b] et C=]e,f[
selon a<e<f<d
A union C = A
mais il m'est impossible de definir B est fermé qui contiens C et dont les autres elements ne se trouve pas dans A puis dire que B est fermé
Dans $\mathbb {R}$ en utilisant cette deuxieme option alors A inter B est fermé est obligatoire en tout cas je vois pas comment se serai possible ou alors peux être qu'avec un autre ensemble par exemple dans $\mathbb {C}$ qui n'admet pas de relation d'ordre total mais uniquement lexicographique (cela reste une relation d'ordre totale )
bon je declare forfait merci Magnolia et vous tous -
Cher Sphinx, la question que tu essaies de résoudre est élémentaire si on tient compte du fait qu'un fermé est le complémentaire d'un ouvert (et de la définition d'une topologie). Regarde ici (cf lois de De Morgan)
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Merci Malot Philippe
Loi de De Morgan en algèbre de Boole
L'espace $P(E)$ muni de la réunion et de l'intersection est une algèbre de Boole.
$\displaystyle \overline x\ + \overline y\ =\ \overline {x.y}$
$\displaystyle \overline x\ . \overline y\ =\ \overline {x+y}$
sont en fait des théorèmes issus de l'axiomatique qui définit une algèbre de Boole
les lois + et . sont commutatives, associatives forment une distribution et forment une idempotence
Magnolia parle de la deuxième option, je ne comprends pas mais bon là il faut que je me retrouve dans ma solitude pour réfléchir
Des fois il faut être seul
Merci Malot Philippe et vous tous -
Dans la "deuxième option" de Magnolia il n'y a rien à démontrer, puisque -par définition- les fermés sont stables par intersection quelconque.
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Bonsoir :
Pour montrer que $ N(H) $ est un sous groupe fermé de $G$ quant $H$ est un sous groupe fermé de $ G $, alors il suffit de remarquer que : $ N(H) = \displaystyle \bigcap_{h \in H} f^{-1} ( H ) $ est un sous groupe de $ G $, car, $ f : x \to xhx^{1} $ est un homomorphisme de groupes continue est $ H $ un sous groupe fermé, donc $ f^{-1} (H) $ est un sous groupe fermé, donc $ N(H) $ est un sous groupe fermé, comme intersection quelconque de sous groupes fermé.
Correct ? -
Je reviens sur l'histoire du normalisateur signalée par Christophe.
Il est vrai que la définition rapportée par Pablo n'est pas correcte : le normalisateur de $H$ dans $G$ n'est pas $\{ x\in G\mid x^{-1}Hx\subset H\}$ mais bien $\{ x\in G\mid x^{-1}Hx = H\}$ comme cela a déjà été dit.
Un petit exemple : $G$ le groupe des transformations affines de $\R$, $H$ le sous-groupe des translations entières, $x$ l'homothétie de rapport $1/2$. Alors $x^{-1}Hx$ est le sous-groupe des translations entières paires, strictement contenu dans $H$, et on n'a pas $xHx^{-1}\subset H$. -
Merci beaucoup à toi Bu (tu), t'as dû te taper la lecture de beaucoup de posts:)-D pour remarquer cette remarque!!!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Petit exercice pour Pablo : adapter la démonstration au vrai normalisateur.
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Réfléchis un peu. Est-ce que $ \{ x \in G \mid xHx^{-1} \subset H \} $ est stable par passage à l'inverse ?
Par ailleurs : es-tu sûr que $ f : x \to xhx^{-1} $ est un homomorphisme de groupes ? -
Ah d'accord, tu veux dire qu'il faut avoir $ x^{-1} Hx \subset H $ et $ xHx^{-1} \subset H $ en même temps, pour avoir $ x^{-1}Hx = H $, donc, tu considères, à priori, que $ N(H) = \{ x \in G \ / \ x^{-1} H x = H \} $ est le normalisateur de $ H $, mais, tu n'expliques pas pourquoi ? Qu'est ce qui t'empêche de dire que $ N(H) = \{ x \in G \ / \ xHx^{-1} \subset H \} $ n'est pas le normalisateur de $ H $ ? Il doit y avoir une raison. Il faut retourner à la définition donnée par @CC, je pense.
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Ok. Mais, que vient faire l'exemple du groupe des transformations affines là ? Il suffit de dire que $ N(H) = \{ x \in G \ / \ xHx^{-1} \subset H \} $ n'est pas un normalisateur, parce que il n'est pas un sous groupe, tout simplement. @CC l'a déjà expliqué. Ohhh, mon Dieu, j'ai un peu mal dans ma tête.
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L'exemple que j'ai donné est justement un exemple dans lequel $ \{ x \in G \ / \ xHx^{-1} \subset H \} $ n'est pas un sous-groupe. Je n'ai pas vu que Christophe ait donné un tel exemple.
Montrer que le vrai normalisateur est fermé est un petit exercice, dont la réponse t'a déjà été donnée dans ce fil. -
D'accord. On passe à autre chose, maintenant :
Pourquoi, la composante connexe $ G^0 $ de $ e \in G $ élément neutre de $ G $, est un sous groupe normal ?
Merci d'avance. -
Pour tout $x$ de $G$, $xG^{0}x^{-1}$ contient $e$. Surtout, on montre qu'il est connexe, donc $xG^{0}x^{-1}\subset G^{0}$ comme composante connexe de $e$.
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Merci.
$ xG^0x^{-1} $ est connexe contenant $ e $, comme image de $ G^0 $ qui est connexe par $ f : h \to xhx^{-1} $, qui est une application continue., donc $ xG^0x^{-1} \subset G^0 $ ( car, $ G^0 $ est le plus grand connexe de $ G $ contenant $ e $ ), donc $ G^0 $ est normal.
Mais, pourquoi, $ G^0 $ est un sous groupe ? -
Voici le cours que j'apprends :
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Pour comprendre un cours, il y a minimum de connaissances à avoir. Si ce n'est pas suffisamment détaillé pour toi, c'est peut-être parce que tu n'as pas le niveau pour comprendre ce cours.
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Je sais.
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La démonstration que tu demandes est complètement contenue dans ce poly. As-tu remarqué que Daniel Bertrand considère $x^{-1}G_0$, pour $x\in G_0$ ?
Par ailleurs, la définition erronée de normalisateur est bien celle donnée par Daniel Bertrand. (Ca me console de ne pas avoir tilté ). -
Si $G^{0}$ est la composante connexe de $e$, alors $G^{0} ^{-1}$ connexe et $G^{0}.G^{0} ^{-1}$ l'est aussi (continuité des opérations).
Comme $e\in G^{0}.G^{0} ^{-1}$ , on peut conclure $G^{0}.G^{0} ^{-1}\subset G^{0}$ donc $G^{0}$ est un sous-groupe
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