Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
233 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

table de Cayley

Envoyé par dfshr8 
table de Cayley
il y a sept années
En faisant la table de Cayley de différent groupes finis ((Z/3Z+),.., je me suis aperçu de différentes ptés [propriétés ?] :

- Par exemple on peut vérifier que l'élément neutre figure une fois et une seule sur chaque ligne et chaque colonne de la table, ce qui traduit l’existence et l'unicité du symétrique pour chaque élément

Mais pour un groupe de 3 éléments, on ne peut avoir qu'une seule table possible.

En observant plus attentivement, on remarque donc qu'on ne peut mettre qu'un élément et un seul sur chaque ligne et sur chaque colonne (car dans le cas contraire, on aboutirait à deux éléments distincts sont égaux).

Du coup je me suis posé la question : combien de tables de groupes peut-on construire si l'on fixe la taille du groupe à n.

Pour n=3, une seule table possible
Pour n=4, 3 tables possibles
Mais après ?

[Arthur Cayley (1821-1895) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par AD.
H
Re: table de cayley
il y a sept années
On peut traiter la question à la main pour les petits groupes (éventuellement à coup de Sylow et autre sans doute, tout cela est bien vieux pour moi). En tout généralité c'est compliqué. Les mots clés : classification des groupes (simples) finis. La réponse est d'ailleurs surprenante.
H
Re: table de cayley
il y a sept années
Enfin ce que je raconte c'est la classification à isomorphisme près. Ta question semble être un peu différente (plus combinatoire).
Re: table de cayley
il y a sept années
avatar
Bonjour

Je n'ai pas retrouvé, mais il me semble me souvenir que pour 8 il y a une table qui a toutes les bonnes propriétés pour être une éventuelle table de groupe, SAUF l'associativité! Quelqu'un connait?
Re: table de cayley
il y a sept années
ça me rappelle les octonions, non ?
Re: table de cayley
il y a sept années
avatar
C'est une idée... et ça répond à la question pour 16, (il y a peut-être un "sous-groupe"). Mais pour 8 c'est bien le groupe des quaternions, qui, lui, est bien un groupe!
FdP
Re: table de cayley
il y a sept années
Une seule table pour n=3?

Il y en a plus formellement.
H
Re: table de cayley
il y a sept années
@FdP : que veux-tu dire ?
FdP
Re: table de cayley
il y a sept années
Formellement il y a plus qu'une table avec n=3

Si tu appelles les éléments a,b,e (e l'élément neutre)
Tu peux intervertir a et b.
bs
Re: table de cayley
il y a sept années
avatar
Bonjour,

Question comme d'hab' toujours un peu floue...de plus, c'est Cayley Arthur.

Le nombre de lois de composition interne $*$ dans ensemble fini E de cardinal $n$, donc le nombre de tables de Cayley représentant un magma $(E,*)$ est $n^{n^2}}$.

Le nombre de groupes d'ordre $n$ donc (?) le nombre de tables de Cayley pour les groupes d'ordre $n$ se trouve ici: [oeis.org]

Amicalement.
H
Re: table de cayley
il y a sept années
Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire ($a$ et $b$ jouent le même rôle). Il faudrait bien sûr préciser ce que l'on compte, là-dessus je suis d'accord.

Disons que l'on cherche le nombre d'applications $a_n$ de $\{0,\dots,n-1\}^2$ dans lui-même qui font de $\{0,\dots,n-1}$ un groupe dans lequel $0$ est l'élément neutre. Alors il me semble que $a_3=1$. Je dis une bêtise ?
FdP
Re: table de cayley
il y a sept années
Une table de Cayley ne tient pas compte du fait qu'un groupe est défini à isomorphisme près.

Si G est un groupe fini, et qu'il existe m automorphismes de G, il y aura m tables de Cayley pour le même groupe considéré à isomorphisme près.
FdP
Re: table de cayley
il y a sept années
Sauf erreur, il existe deux automorphismes de groupe pour le groupe ($\Z/3\Z$,+)
il y a donc deux tables de Cayley pour ce groupe.
H
Re: table de cayley
il y a sept années
Il dit qu'il a mal aux genoux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par AD.
Re: table de cayley
il y a sept années
avatar
Dans la table d'un groupe fini, il n'y a pas que l'élément neutre qui apparaisse une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne, c'est la cas de tout élément. Cela traduit le fait que chaque élément est régulier, c'est-à-dire simplifiable à droite et à gauche. Une telle table est appelée un carré latin. Il vaut mieux présenter cette table avec la première ligne identique à la première colonne, c'est alors un carré latin réduit.
Voir [en.wikipedia.org]
On peut supposer alors que l'élément neutre est placé en haut à gauche. La première ligne et la première colonne, étant identiques, sont donc bien la ligne et la colonne des résultats de la multiplication respectivement à droite et à gauche par cet élément neutre.
Dans la table ainsi présentée, ce qui est particulier à cet élément neutre, c'est que l'ensemble de ses emplacements dans la table doit être symétrique par rapport à la diagonale descentante, pour exprimer le fait que chaque élément a le même symétrique à droite et à gauche.

Déjà, il n'y a pas de formule connue pour le nombre carrés latins réduits de taille $n$. Ces nombres ont été listés dans l'OEIS : [oeis.org].
Alors, savoir, parmi ces tableaux réduits, combien il y aura de groupes, et même combien il y aura de classes d'isomorphismes de groupes, cela me semble "inatteignable", comme disent les journalistes, ou en français : inaccessible.

En bricolant, on s'aperçoit que pour 2, 3 ou 4 éléments, tous les carrés latins réduits que l'on fabrique donnent des groupes. Mais à partir de 5, on peut avoir des "non-groupes", même avec élément neutre et symétrique. Il suffit pour cela d'imposer quelque chose qui ne se produise pas dans un groupe, comme des éléments d'ordre 2 ou la non-commutativité dans un non-groupe à 5 éléments. Par exemple :
$\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 0 & 3 & 4 & 2 \\
2 & 4 & 0 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 4 & 0 & 1 \\
4 & 3 & 1 & 2 & 0
\end{array}
\right ]$.

En faisant des recherches à l'occasion de cette réponse, j'ai vu bien des chose que je ne connaissais pas sur les "quasigroups" ou "loops". Je suis comme H, je n'ai pas vu cela depuis longtemps, et on dirait que ça progresse.

J'ai retrouvé un vieil article dans un bulletin d'IREM de 1977 : "Groupes et non-groupes finis". Une propriété intéressante, c'est que si un ensemble fini est muni d'une loi associative dont la table est un carré latin, réduit ou non, alors c'est une loi de groupe. La seule chose qui ne soit pas bien visible, c'est donc l'associativité, et pour ça il paraît qu'il y a une "règle du quadrangle", dont il était question dans le Bulletin de l'APMEP n° 294, juin 1974, ça nous rajeunit pas.

Bien cordialement,

RC
Re: table de cayley
il y a sept années
avatar
Je ne suis pas parvenu à fabriquer un non-groupe commutatif , avec élément neutre et symétrique, à 5 éléments.
En voici un, avec élément neutre et symétrique, à 6 éléments.
$\left[
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 5 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 5 & 4 & 1 & 2 \\
4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right ]$.
Mais tout ça c'est bricolo-bricolo, il doit y avoir des théorèmes, comme j'ai dit, sans doute du côté des "quasigroups" ou "loops". Mais c'est un peu éloigné de mon champ habituel d'activité.
Bon mardi et bonnes vacances pour ceux qui sont concernés.
RC
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 718, Messages: 1 322 059, Utilisateurs: 24 177.
Notre dernier utilisateur inscrit Chap1nico.


Ce forum
Discussions: 17 189, Messages: 166 726.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page