table de Cayley
En faisant la table de Cayley de différent groupes finis ((Z/3Z+),.., je me suis aperçu de différentes ptés [propriétés ?] :
- Par exemple on peut vérifier que l'élément neutre figure une fois et une seule sur chaque ligne et chaque colonne de la table, ce qui traduit l’existence et l'unicité du symétrique pour chaque élément
Mais pour un groupe de 3 éléments, on ne peut avoir qu'une seule table possible.
En observant plus attentivement, on remarque donc qu'on ne peut mettre qu'un élément et un seul sur chaque ligne et sur chaque colonne (car dans le cas contraire, on aboutirait à deux éléments distincts sont égaux).
Du coup je me suis posé la question : combien de tables de groupes peut-on construire si l'on fixe la taille du groupe à n.
Pour n=3, une seule table possible
Pour n=4, 3 tables possibles
Mais après ?
[Arthur Cayley (1821-1895) prend toujours une majuscule. AD]
- Par exemple on peut vérifier que l'élément neutre figure une fois et une seule sur chaque ligne et chaque colonne de la table, ce qui traduit l’existence et l'unicité du symétrique pour chaque élément
Mais pour un groupe de 3 éléments, on ne peut avoir qu'une seule table possible.
En observant plus attentivement, on remarque donc qu'on ne peut mettre qu'un élément et un seul sur chaque ligne et sur chaque colonne (car dans le cas contraire, on aboutirait à deux éléments distincts sont égaux).
Du coup je me suis posé la question : combien de tables de groupes peut-on construire si l'on fixe la taille du groupe à n.
Pour n=3, une seule table possible
Pour n=4, 3 tables possibles
Mais après ?
[Arthur Cayley (1821-1895) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Je n'ai pas retrouvé, mais il me semble me souvenir que pour 8 il y a une table qui a toutes les bonnes propriétés pour être une éventuelle table de groupe, SAUF l'associativité! Quelqu'un connait?
Il y en a plus formellement.
Si tu appelles les éléments a,b,e (e l'élément neutre)
Tu peux intervertir a et b.
Question comme d'hab' toujours un peu floue...de plus, c'est Cayley Arthur.
Le nombre de lois de composition interne $*$ dans ensemble fini E de cardinal $n$, donc le nombre de tables de Cayley représentant un magma $(E,*)$ est $n^{n^2}}$.
Le nombre de groupes d'ordre $n$ donc (?) le nombre de tables de Cayley pour les groupes d'ordre $n$ se trouve ici: http://oeis.org/search?q=A1&sort=&language=english&go=Search
Amicalement.
Disons que l'on cherche le nombre d'applications $a_n$ de $\{0,\dots,n-1\}^2$ dans lui-même qui font de $\{0,\dots,n-1}$ un groupe dans lequel $0$ est l'élément neutre. Alors il me semble que $a_3=1$. Je dis une bêtise ?
Si G est un groupe fini, et qu'il existe m automorphismes de G, il y aura m tables de Cayley pour le même groupe considéré à isomorphisme près.
il y a donc deux tables de Cayley pour ce groupe.
Voir http://en.wikipedia.org/wiki/Latin_square
On peut supposer alors que l'élément neutre est placé en haut à gauche. La première ligne et la première colonne, étant identiques, sont donc bien la ligne et la colonne des résultats de la multiplication respectivement à droite et à gauche par cet élément neutre.
Dans la table ainsi présentée, ce qui est particulier à cet élément neutre, c'est que l'ensemble de ses emplacements dans la table doit être symétrique par rapport à la diagonale descentante, pour exprimer le fait que chaque élément a le même symétrique à droite et à gauche.
Déjà, il n'y a pas de formule connue pour le nombre carrés latins réduits de taille $n$. Ces nombres ont été listés dans l'OEIS : http://oeis.org/A000315.
Alors, savoir, parmi ces tableaux réduits, combien il y aura de groupes, et même combien il y aura de classes d'isomorphismes de groupes, cela me semble "inatteignable", comme disent les journalistes, ou en français : inaccessible.
En bricolant, on s'aperçoit que pour 2, 3 ou 4 éléments, tous les carrés latins réduits que l'on fabrique donnent des groupes. Mais à partir de 5, on peut avoir des "non-groupes", même avec élément neutre et symétrique. Il suffit pour cela d'imposer quelque chose qui ne se produise pas dans un groupe, comme des éléments d'ordre 2 ou la non-commutativité dans un non-groupe à 5 éléments. Par exemple :
$\left[
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 0 & 3 & 4 & 2 \\
2 & 4 & 0 & 1 & 3 \\
3 & 2 & 4 & 0 & 1 \\
4 & 3 & 1 & 2 & 0
\end{array}
\right ]$.
En faisant des recherches à l'occasion de cette réponse, j'ai vu bien des chose que je ne connaissais pas sur les "quasigroups" ou "loops". Je suis comme H, je n'ai pas vu cela depuis longtemps, et on dirait que ça progresse.
J'ai retrouvé un vieil article dans un bulletin d'IREM de 1977 : "Groupes et non-groupes finis". Une propriété intéressante, c'est que si un ensemble fini est muni d'une loi associative dont la table est un carré latin, réduit ou non, alors c'est une loi de groupe. La seule chose qui ne soit pas bien visible, c'est donc l'associativité, et pour ça il paraît qu'il y a une "règle du quadrangle", dont il était question dans le Bulletin de l'APMEP n° 294, juin 1974, ça nous rajeunit pas.
Bien cordialement,
RC
En voici un, avec élément neutre et symétrique, à 6 éléments.
$\left[
\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 5 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 0 & 1 \\
3 & 0 & 5 & 4 & 1 & 2 \\
4 & 5 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 4 & 1 & 2 & 3 & 0
\end{array}
\right ]$.
Mais tout ça c'est bricolo-bricolo, il doit y avoir des théorèmes, comme j'ai dit, sans doute du côté des "quasigroups" ou "loops". Mais c'est un peu éloigné de mon champ habituel d'activité.
Bon mardi et bonnes vacances pour ceux qui sont concernés.
RC