Nombre univers
Bonsoir,
J'ai 2 questions concernant les nombres univers (définition: Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée.).
1ere question : comment démontrer que l'ensemble des nombres univers en base 10 n'est pas dénombrable?
2eme question : Peut-on avoir des nombres univers dans certaines bases, et qui ne le sont pas dans d'autres? Des nombres univers dans toute base $b\geq 2$? Des nombres univers dans une seule base? Avez-vous des exemples concrets à me proposer?
Pour la 1ere question, j'ai trouvé un lien -> démo mais je n'ai pas compris la construction proposée, ni pourquoi les nombres ainsi cinstruits restaient des nombres univers.
Avez-vous des idées ?
J'ai 2 questions concernant les nombres univers (définition: Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée.).
1ere question : comment démontrer que l'ensemble des nombres univers en base 10 n'est pas dénombrable?
2eme question : Peut-on avoir des nombres univers dans certaines bases, et qui ne le sont pas dans d'autres? Des nombres univers dans toute base $b\geq 2$? Des nombres univers dans une seule base? Avez-vous des exemples concrets à me proposer?
Pour la 1ere question, j'ai trouvé un lien -> démo mais je n'ai pas compris la construction proposée, ni pourquoi les nombres ainsi cinstruits restaient des nombres univers.
Avez-vous des idées ?
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Réponses
Ainsi il éxhibe bien un nombre non dénombrable de nombres univers!
Par contre ma 2eme question semble plus ardue, et je n'ai encore rien trouvé.
Proposition 1 : un nombre univers en base $k n$ est univers en base $n$.
Proposition 1' : réciproquement, un nombre univers en base $n$ est univers en base $k n$.
Proposition 2 : un nombre univers en base $m$ est univers en base $n$ avec $m$ et $n$ premiers entre eux.
Finalement, tout ce que j'ai réussi à faire pour le moment, c'est prouver :
Proposition 0 : un nombre univers en base $n^k$ est univers en base $n$.
Proposition 0' : réciproquement, un nombre univers en base $n$ est univers en base $n^k$.
Preuve de la proposition 0 :
Chaque décimale en base $n^k$ correspond à un bloc de $k$ décimales en base $n$.
On note $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ un nombre entier en base $n^k$ et $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ son écriture en base $n$. Si la succession de chiffres $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ apparaît dans l'écriture en base $n^k$ d'un nombre réel $x$ à la position $i$ après la virgule, alors la succession de chiffres $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ apparaît dans son écriture en base $n$ à la position $ki$ (on suppose que la première décimale après la virgule est à la position 0).
Pour que n'importe quelle succession de chiffres $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ apparaisse dans le développement en base $n$, il suffit que la succession de chiffres $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ associée apparaisse dans le développement en base $n^k$. Si $x$ est $n^k$-univers, il est n-univers.
Preuve de la proposition 0' :
$x$ est n-univers.
Pour que n'importe quelle succession $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ apparaisse dans le développement en base $n^k$ de $x$, il faut que la succession $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ associée apparaisse dans une position multiple de $k$ dans le développement en base $n$ . Puisque n'importe quelle succession de chiffres apparaît dans le développement en base $n$ de $x$, alors on y trouve en particulier la succession
$b_1 b_2 \ldots b_{k \ell} \; (0 \ldots 0) \; b_1 b_2 \ldots b_{k \ell} \; (0 \ldots 0) \; \ldots \; (0 \ldots 0) \; b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ (k fois)
où les $(0 \ldots 0)$ contiennent $(- k \ell) \mod k + 1$ zéros consécutifs. On trouve $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ dans toutes les positions modulo $k$ possibles, y compris 0. Cette sous-séquence fait apparaître $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ dans le développement en base $n^k$ de $x$.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_normal
edit: cofinie veut dire de complementaire fini
J'imagine que $a$ est à la fois 10-univers et 3-univers et que $a+s(X)$ reste 3-univers mais n'est plus 10-univers, c'est bien ça ?
Il peut y avoir des problèmes de propagation retenues quand on fait $a+s(X)$ en base 3 (une suite de 1 ou 2 consécutifs finissant par 2 pour $a$ + une suite de 1 consécutifs pour s(X), ou bien 2 + 0 + 1retenu ) qui chamboulent toute une suite de chiffres entre $a$ et $a+s(X)$, mais ce n'est pas grave ?
Tu dis "pour toute partie X de B, ...", y compris les parties finies voire l'ensemble vide (auxquels cas $a+s(X)$ devrait rester 3-et-10-univers) ? (edit : tu voulais dire "il existe ..." ? Ou bien c'est volontairement contradictoire car cela prouve que l'hypothèse de départ était fausse, on suppose $a$ 10-univers et on se fiche de savoir si $a+s(X)$ est 3-univers ? Merci de m'éclairer car je nage)
Je ne sais pas si il y a vraiment l'indépendance de la base pour l'universalité mais je suis plutôt sûr pour les cas (quand même très particuliers) entre $n$ et $n^k$. On pourrait même faire un peu plus général entre $m$ et $n$ si $\frac{\ln(m)}{\ln(n)} = \frac{a}{b} \in \Q$ avec le même raisonnement, en utilisant une liste de décimales qui contient $b$ cas de décalages différents.
Donc je crois en particulier qu'il y a équivalence entre 3-univers et 9-univers. Est-ce que ton raisonnement ne fonctionne effectivement pas, entre 9 et 3 ?
1°) $a$ et $a+s(X)$ sont-ils :
3-univers,
10-univers,
ça dépend de $X$,
on s'en fiche,
à la fois 10-univers et non 10-univers d'où preuve par l'absurde ?
2°) Pour quelles raisons routinières de logique infinie passe-t-on de "si tout nombre 10-univers est 3-univers" à "il existerait en particulier un nombre $ a$, ..." ?
3°) Que se passe-t-il si on remplace 10-univers par 9-univers ?
Merci de ta patience
je viens de bien relire mon premier post: il me semble precis et copletement quantifie
repondre a ta question 2 serait en donner une preuve mais helas je suis sur un tel ou ft que je clique 5fois sur envoyer etc bref probleme 3G + pas de latex
Par contre l AFFIRMATION que je t ai donnee me semble claire (sans preuve certes). Pour une preuve si JLT passe par la peut etre t en donnera t il une si ca le distrait par exemple sinon je le ferai de.retour a Paris.
L enonce : R(a,b) que je t ai donne avec a=10 et b=3 est valable.pour tous entiers a,b (je parle bien de l implication). Il serait bien sur bcp moins etonnant avec le.couple (9,3) qu avec le.couple (10,3)
Remarque: s(X) s ecrit avec que des 0 des 1 mais aucun 2 en base 3
$\forall (m,n) \in \{ i \in \N ; i \ge 2 \}^2 , U_m \subseteq U_n \Rightarrow \exists a \in \R , \exists k \in \N , \exists B \subseteq \N , | \N \setminus B | \in \N , \forall X \subseteq B , a+s_n(X) \in V^k_m$
où $U_m$ est l'ensemble des nombres m-univers et $V^k_m$ l'ensemble des nombres non m-univers à cause de $k$, et $s_n(X) = \sum_{i \in X} n^{-i}$
L'implication marche-t-elle dans l'autre sens ? La partie de droite de l'implication est-elle équivalente en remplaçant $a$ par $0$ et/ou $B$ par $\N$ ? Peut-on faire passer $\exists k$ après $\forall X$, ce qui reviendrait à éliminer $k$ et dire $a + s_n(X) \notin U_m$ ?