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Nombre univers

Envoyé par poltaj 
Nombre univers
il y a deux années
Bonsoir,
J'ai 2 questions concernant les nombres univers (définition: Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée.).
1ere question : comment démontrer que l'ensemble des nombres univers en base 10 n'est pas dénombrable?

2eme question : Peut-on avoir des nombres univers dans certaines bases, et qui ne le sont pas dans d'autres? Des nombres univers dans toute base $b\geq 2$? Des nombres univers dans une seule base? Avez-vous des exemples concrets à me proposer?


Pour la 1ere question, j'ai trouvé un lien -> démo mais je n'ai pas compris la construction proposée, ni pourquoi les nombres ainsi cinstruits restaient des nombres univers.

Avez-vous des idées ?
Re: Nombre univers
il y a deux années
Pour la 1ere question, j'ai enfin compris comment l'auteur procéder pour construire ces nouveaux nombres univers. En fait il regroupe toutes les séquences finis de nombres figurant dans la constante de Champernowne, qu'on peut énumérer (ces séquencess sont indexées par N, par ordre croissant de leur apparition dans la constante de Champernowne) et il prend une suite à valeurs dans {0,1}. Si le n-eme terme de cette suite vaut 1, il permutte les séquences 2n et 2n+1, sinon non.
Ainsi il éxhibe bien un nombre non dénombrable de nombres univers! :)

Par contre ma 2eme question semble plus ardue, et je n'ai encore rien trouvé.
Re: Nombre univers
il y a deux années
Je n'ai pas trouvé de réponse pour la deuxième question mais j'aurais tendance à croire qu'un nombre univers dans une base quelconque est un nombre univers dans n'importe quelle autre base. J'avais commencé par décomposer ce problème en plusieurs sous-problèmes :

Proposition 1 : un nombre univers en base $k n$ est univers en base $n$.

Proposition 1' : réciproquement, un nombre univers en base $n$ est univers en base $k n$.

Proposition 2 : un nombre univers en base $m$ est univers en base $n$ avec $m$ et $n$ premiers entre eux.


Finalement, tout ce que j'ai réussi à faire pour le moment, c'est prouver :

Proposition 0 : un nombre univers en base $n^k$ est univers en base $n$.

Proposition 0' : réciproquement, un nombre univers en base $n$ est univers en base $n^k$.


Preuve de la proposition 0 :

Chaque décimale en base $n^k$ correspond à un bloc de $k$ décimales en base $n$.

On note $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ un nombre entier en base $n^k$ et $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ son écriture en base $n$. Si la succession de chiffres $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ apparaît dans l'écriture en base $n^k$ d'un nombre réel $x$ à la position $i$ après la virgule, alors la succession de chiffres $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ apparaît dans son écriture en base $n$ à la position $ki$ (on suppose que la première décimale après la virgule est à la position 0).

Pour que n'importe quelle succession de chiffres $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ apparaisse dans le développement en base $n$, il suffit que la succession de chiffres $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ associée apparaisse dans le développement en base $n^k$. Si $x$ est $n^k$-univers, il est n-univers.

Preuve de la proposition 0' :

$x$ est n-univers.

Pour que n'importe quelle succession $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ apparaisse dans le développement en base $n^k$ de $x$, il faut que la succession $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ associée apparaisse dans une position multiple de $k$ dans le développement en base $n$ . Puisque n'importe quelle succession de chiffres apparaît dans le développement en base $n$ de $x$, alors on y trouve en particulier la succession

$b_1 b_2 \ldots b_{k \ell} \; (0 \ldots 0) \; b_1 b_2 \ldots b_{k \ell} \; (0 \ldots 0) \; \ldots \; (0 \ldots 0) \; b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ (k fois)

où les $(0 \ldots 0)$ contiennent $(- k \ell) \mod k + 1$ zéros consécutifs. On trouve $b_1 b_2 \ldots b_{k \ell}$ dans toutes les positions modulo $k$ possibles, y compris 0. Cette sous-séquence fait apparaître $a_1 a_2 \ldots a_{\ell}$ dans le développement en base $n^k$ de $x$.
Re: Nombre univers
il y a deux années
Oups, j'ai corrigé mon message précédent après une petite confusion entre $k n$ et $n^k$ :)
JLT
Re: Nombre univers
il y a deux années
avatar
Presque tout nombre est un nombre univers dans toute base :
[fr.wikipedia.org]
Re: Nombre univers
il y a deux années
je ne suis pas vrmt de ton avis JLLambda: si tout nombre 10univers est 3univers alors pour des raisons routinieres de logique infinie il existerait en particulier un nombre a, une partie cofinie B de IN et un entier n tels que pour toute partie X de B , a+s(X) ne contient pas l ecriture decimale de n comme sous ecriture de son ecriture decimal ce qui parait un peu etonnant

edit: cofinie veut dire de complementaire fini

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par christophe c.
Re: Nombre univers
il y a deux années
avec s(X) := la somme des 1/3^i quand i parcourt X

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre univers
il y a deux années
J'ai un peu de mal à suivre ton raisonnement, Christophe. Est-ce que ton affirmation "il existerait en particulier un nombre $a$, ..." est une conséquence de "si tout nombre 10-univers est 3-univers" ou bien seulement des "raisons routinieres de logique infinie" (dont à vrai dire je ne connais rien) ?

J'imagine que $a$ est à la fois 10-univers et 3-univers et que $a+s(X)$ reste 3-univers mais n'est plus 10-univers, c'est bien ça ?

Il peut y avoir des problèmes de propagation retenues quand on fait $a+s(X)$ en base 3 (une suite de 1 ou 2 consécutifs finissant par 2 pour $a$ + une suite de 1 consécutifs pour s(X), ou bien 2 + 0 + 1retenu ) qui chamboulent toute une suite de chiffres entre $a$ et $a+s(X)$, mais ce n'est pas grave ?

Tu dis "pour toute partie X de B, ...", y compris les parties finies voire l'ensemble vide (auxquels cas $a+s(X)$ devrait rester 3-et-10-univers) ? (edit : tu voulais dire "il existe ..." ? Ou bien c'est volontairement contradictoire car cela prouve que l'hypothèse de départ était fausse, on suppose $a$ 10-univers et on se fiche de savoir si $a+s(X)$ est 3-univers ? Merci de m'éclairer car je nage)


Je ne sais pas si il y a vraiment l'indépendance de la base pour l'universalité mais je suis plutôt sûr pour les cas (quand même très particuliers) entre $n$ et $n^k$. On pourrait même faire un peu plus général entre $m$ et $n$ si $\frac{\ln(m)}{\ln(n)} = \frac{a}{b} \in \Q$ avec le même raisonnement, en utilisant une liste de décimales qui contient $b$ cas de décalages différents.

Donc je crois en particulier qu'il y a équivalence entre 3-univers et 9-univers. Est-ce que ton raisonnement ne fonctionne effectivement pas, entre 9 et 3 ?
Re: Nombre univers
il y a deux années
c est une consequence de "si tout nombre 10univers est 3univers" et non a priori un enonce prouvable seul

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre univers
il y a deux années
Merci pour ta réponse mais je n'arrive toujours pas à y voir plus clair pour le reste. Voici un résumé de mes interrogations.

1°) $a$ et $a+s(X)$ sont-ils :
3-univers,
10-univers,
ça dépend de $X$,
on s'en fiche,
à la fois 10-univers et non 10-univers d'où preuve par l'absurde ?

2°) Pour quelles raisons routinières de logique infinie passe-t-on de "si tout nombre 10-univers est 3-univers" à "il existerait en particulier un nombre $ a$, ..." ?

3°) Que se passe-t-il si on remplace 10-univers par 9-univers ?

Merci de ta patience :)
Re: Nombre univers
il y a deux années
@JLLambda

je viens de bien relire mon premier post: il me semble precis et copletement quantifie

repondre a ta question 2 serait en donner une preuve mais helas je suis sur un tel ou ft que je clique 5fois sur envoyer etc bref probleme 3G + pas de latex

Par contre l AFFIRMATION que je t ai donnee me semble claire (sans preuve certes). Pour une preuve si JLT passe par la peut etre t en donnera t il une si ca le distrait par exemple sinon je le ferai de.retour a Paris.

L enonce : R(a,b) que je t ai donne avec a=10 et b=3 est valable.pour tous entiers a,b (je parle bien de l implication). Il serait bien sur bcp moins etonnant avec le.couple (9,3) qu avec le.couple (10,3)

Remarque: s(X) s ecrit avec que des 0 des 1 mais aucun 2 en base 3

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre univers
il y a deux années
OK. Je note juste ça en latex, pour voir ce que ça donne.

$\forall (m,n) \in \{ i \in \N ; i \ge 2 \}^2 , U_m \subseteq U_n \Rightarrow \exists a \in \R , \exists k \in \N , \exists B \subseteq \N , | \N \setminus B | \in \N , \forall X \subseteq B , a+s_n(X) \in V^k_m$

où $U_m$ est l'ensemble des nombres m-univers et $V^k_m$ l'ensemble des nombres non m-univers à cause de $k$, et $s_n(X) = \sum_{i \in X} n^{-i}$
Re: Nombre univers
il y a deux années
Si j'ai bien compris, on a par exemple pour $(m,n) = (9,3)$ : $a=0 , B=\N , k \in \{2,6,7,8\}$ et pour $(m,n) = (3,9)$ : $a=0 , B=\N , k = 2$.

L'implication marche-t-elle dans l'autre sens ? La partie de droite de l'implication est-elle équivalente en remplaçant $a$ par $0$ et/ou $B$ par $\N$ ? Peut-on faire passer $\exists k$ après $\forall X$, ce qui reviendrait à éliminer $k$ et dire $a + s_n(X) \notin U_m$ ?
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