exercice d'algèbre

lucci0
lucci0
dans Algèbre
Soit $p$ un nombre premier. On pose $ E=\Z/ p \Z$ et $GA(p)=\{ f_{a,b} : E \rightarrow E \mid f_{a,b} (x)=ax+b,\ a \in E^* ,\ b \in E \} $
1) Soient $ t= f_{1,1}$ et $m_{a}= f_{a,0} $. Montrer que $m_{a}t= t^a m_{a}$ et en déduire que $ \exists a $, tel que $ GA(p)= \langle t,m_{a} \rangle$.
2) Montrer que $\langle t \rangle \triangleleft GA(p)$.
3) Montrer que $GA(p)$ est transitif et résoluble

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider, je n'ai fini que "Montrer que $m_{a}t= t^a m_{a}$" après je suis bloqué.

Réponses

  • afk
    afk
    Commence par remarquer que pour tous $a,b$, $f_{a,b} = t^bm_a$. Ensuite demande toi à quoi ressemble, le groupe $\langle m_a \rangle$. Pour quelles valeurs de $a$ est-il le plus grand possible?
  • bs
    bs
    Bonsoir,

    Tiens, un groupe de Frobenius.

    Amicalement.
  • lucci0
    lucci0
    d'accord \ en \ effet \ en \ remarquant \ que \ pour \ tout \ a \ et \ b $ f_{a,b} = t^b m_{a} $ si \ on \ prend $ a=b $ on \ a $ GA(p)= \langle t,m_{a} \rangle \ Merci . $ mais je ne vois pas encore le rapport entre $ \langle m_{a} \rangle $ et $ \langle t \rangle \triangleleft GA(p) $ . je vois $ \langle m_{a} \rangle = \{ f_{1},a f_{1}, \dots, a^{p-1}f_{1} \} \ où \ a \in E^* $,
  • lucci0
    lucci0
    bs < pourriez vous m'expliquer un peut plus le rapprochement entre ce problème et le Groupe de Frobenius svp. Merci d'avance
  • lucci0
    lucci0
    je me suis trompé, je voulai dire $ \langle m_{a} \rangle =\{ f_{1,0}, a f_{1,0}, \dots , a^{p-1}f_{1,0} \} $ où $ 1 \not= a \in E^* $
  • afk
    afk
    Tu dis pour $a=b$, $GA(p) = \langle m_a,t \rangle$. Ça n'a pas de sens.
    Comment sais-tu que $m_a$ est d'ordre $p-1$ ?

    [La case LaTeX. AD]
  • lucci0
    lucci0
    c'est que je n'ai pas du tout compris alors, pourriez vous m'expliquer?
  • bs
    bs
    Bonjour Lucci,

    Bien comprendre les règles de calcul :

    Si $f_{a,b} (x)=ax+b$ alors $f^2_{a,b} (x)= f_{a,b} (f_{a,b} (x))=a f_{a,b} (x)+b= a(ax+b)+b=a^2x+ab+b $ et $f^2_{a,b}= f_{a^2,ab+b}$.

    Si $ t= f_{1,1}$, alors $ t(x)=x+1$ et $t^2(x)=f^2_{1,1} (x)= x+2$ donc $ t^2= f_{1,2}$, et tu peux calculer $t^m$ pour $m \in E$.

    Tu remarqueras que le $t$ signifie ici translation.

    Si $m_{a}= f_{a,0} $, alors $m_{a} (x) = f_{a,0} (x)= ax$.

    Pour montrer que $m_{a}t= t^a m_{a}$, tu calcules:

    $m_{a}t(x)= m_{a}(t(x))= m_{a}(x+1)=a(x+1)=ax+a = f_{a,a}(x)$, puis

    $t^a m_{a} (x)= t^a (m_{a}(x))= t^a (ax)= ...$ à toi de finir.

    Ensuite du peux utiliser la première indication de afk.

    Ce groupe affine $GA(p)$ est un groupe de Frobenius car il correspond à la définition de ces groupes, voir mon lien, entre autre parce qu'il est transitif ce que te demande de démontrer l'énoncé.

    Amicalement.
  • lucci0
    lucci0
    Merci beaucoup bs, avec ces indications je crois que je vais pouvoir m'ensortir.
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