anneau libre
Bonjour,
j'ai lu dans un texte en anglais l'expression "free ring" (j'imagine anneau libre en Français). Qu'est ce que "libre" veut dire ? (je sais ce qu'est un groupe libre sur un système de générateur : les éléments sont les mots réduits en ces générateurs, mais je ne vois pas trop pour anneau). Si vous pouvez m'éclairer
j'ai lu dans un texte en anglais l'expression "free ring" (j'imagine anneau libre en Français). Qu'est ce que "libre" veut dire ? (je sais ce qu'est un groupe libre sur un système de générateur : les éléments sont les mots réduits en ces générateurs, mais je ne vois pas trop pour anneau). Si vous pouvez m'éclairer
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Réponses
J'ai jamais veritablement vu ça, mais j'imagine que ca veut dire une Z-algèbre libre.
En clair, tu prends des polynômes à coeffs dans $\Z$ dont les indéterminées sont les éléments de $X$, sauf que les indéterminées ne commutent pas (donc tu ne peux pas regrouper les puissances).
Ceci dit, ça c'est une "visualisation", ce n'est pas une définition. La définition est en termes de propriété universelle.
http://en.wikipedia.org/wiki/Free_ring
L'article est redirigé vers "Free Algebra", mais tu as la remarque, au milieu de l'article : "Since rings may be regarded as Z-algebras, a free ring on E can be defined as the free algebra Z⟨E⟩."
C'est ce que j'ai trouvé en cherchant à peine 30 secondes, peut-être que quelqu'un a une source plus sûre à te proposer.
EDIT: Il y a eu de meilleures réponses juste avant
Tu as l'article Free objects sur wikipedia qui est aussi intéressant.
Tu vois donc bien que $\Z[G]$ est tout sauf un anneau libre...
On voit la différence déjà avec un seul générateur. Le monoïde libre est $M = (\N,+)$, le groupe libre est $G = (\Z,+)$, l'anneau libre est l'anneau de polynômes $\Z[X] = \bigoplus_{n\in \N} \Z X^n$ alors que $\Z[G] = \bigoplus_{n\in \Z} \Z X^n = \Z[X,\frac{1}{X}] = \Z[X,Y]/(XY-1)$ n'est pas libre (on a une relation entre le générateur de $G$ et son inverse).
Merci pour ces réponses je comprends mieux la signification du mot libre
Si $G$ est un groupe, $(\Z <X_g : g\in G>,+,\times)$, les polynomes avec comme indéterminées $X_g, g\in G$ est-il un anneau libre ?
Comme pour les groupes libres tout ça se formule bien mieux en terme de propriété universelle ou d'adjonction de foncteurs.
merci
Dit autrement, si on suppose que $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ est fini pour simplifier, alors pour tout polynome $P \in \Z<X>$ et tous éléments $a_1,\dots,a_n$ d'un anneau $A$, $P(a_1,\dots,a_n)$ est un élément de $A$ bien défini, et l'application $P\mapsto P(a_1,\dots,a_n)$ est un morphisme d'anneau.