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anneau libre

fanffanf
dans Algèbre
Bonjour,
j'ai lu dans un texte en anglais l'expression "free ring" (j'imagine anneau libre en Français). Qu'est ce que "libre" veut dire ? (je sais ce qu'est un groupe libre sur un système de générateur : les éléments sont les mots réduits en ces générateurs, mais je ne vois pas trop pour anneau). Si vous pouvez m'éclairer :)

Réponses

  • NoNameNoName
    Salut,
    J'ai jamais veritablement vu ça, mais j'imagine que ca veut dire une Z-algèbre libre.
  • GreginGreGreginGre
    Ben, c'est la même idée, sauf que tu prends un groupe abélien libre sur un alphabet $X$ (donc des combinaisons linéaires formelles à coefficients dans $\Z$ d'éléments de $X$), et ensuite tu définis une multiplication comme tu l'imagines.

    En clair, tu prends des polynômes à coeffs dans $\Z$ dont les indéterminées sont les éléments de $X$, sauf que les indéterminées ne commutent pas (donc tu ne peux pas regrouper les puissances).

    Ceci dit, ça c'est une "visualisation", ce n'est pas une définition. La définition est en termes de propriété universelle.
  • Philippe MalotPhilippe Malot
    Tu as une explication ici :
    http://en.wikipedia.org/wiki/Free_ring

    L'article est redirigé vers "Free Algebra", mais tu as la remarque, au milieu de l'article : "Since rings may be regarded as Z-algebras, a free ring on E can be defined as the free algebra Z⟨E⟩."

    C'est ce que j'ai trouvé en cherchant à peine 30 secondes, peut-être que quelqu'un a une source plus sûre à te proposer.

    EDIT: Il y a eu de meilleures réponses juste avant :)
    Tu as l'article Free objects sur wikipedia qui est aussi intéressant.
  • GreginGreGreginGre
    Je précise quand même: un anneau est une $\Z$-algèbre {\bf associative unitaire}, et qu'il faut arrêter de croire que toutes les algèbres sont associatives et/ou unitaires (cf. octonions, algèbres de Jordan...).
  • fanffanf
    Merci pour vos réponses ! Typiquement si j'ai un groupe $G$ je peux considérer $\Z[G]$, l'anneau constitué des combinaisons linéaires à coefficients dans $\Z$ d'éléments de $G$ ? (c'est ça qui m'intéresse en fait!).
  • NoNameNoName
    C'est typiquement ça oui, perso j'appelle ca plus volontier l'algèbre du groupe (the group ring, ou the algebra over G), que "the free ring over G".
  • GreginGreGreginGre
    surtout que ce n'est pas un anneau libre!
  • fanffanf
    Pourquoi ce n'est pas un anneau libre ? Qu'est-ce qu'il manque par rapport à la description que tu as donnée au début GreginGre ?
  • NoNameNoName
    Regarde l'anneau de group de $\mu_n$ (le groupe des racines n-ieme de l'unité).
  • GreginGreGreginGre
    ben quand même: si $n$ est le cardinal du groupe , $g^n=1$ pour tout $g\in G$.
  • GreginGreGreginGre
    Je précise ma réponse laconique: "libre" signifie intuitivement " pas de relations entre les générateurs".

    Tu vois donc bien que $\Z[G]$ est tout sauf un anneau libre...
  • afkafk
    Un anneau libre est l'algèbre d'un monoïde libre pas d'un groupe libre.

    On voit la différence déjà avec un seul générateur. Le monoïde libre est $M = (\N,+)$, le groupe libre est $G = (\Z,+)$, l'anneau libre est l'anneau de polynômes $\Z[X] = \bigoplus_{n\in \N} \Z X^n$ alors que $\Z[G] = \bigoplus_{n\in \Z} \Z X^n = \Z[X,\frac{1}{X}] = \Z[X,Y]/(XY-1)$ n'est pas libre (on a une relation entre le générateur de $G$ et son inverse).
  • fanffanf
    Désolé je m'étais absenté !
    Merci pour ces réponses je comprends mieux la signification du mot libre ;)
  • fanffanf
    Bon je reviens à la charge.
    Si $G$ est un groupe, $(\Z <X_g : g\in G>,+,\times)$, les polynomes avec comme indéterminées $X_g, g\in G$ est-il un anneau libre ?
  • jobherztjobherzt
    SI tu prends des polynômes non-commutatifs alors oui, c'est l'anneau libre sur l'ensemble $G$, mais dans ce cas tu n'utilises pas la structure de groupe.
  • fanffanf
    Ok merci. Je voulais bien parler des polynomes non-commutatifs---on peut donc prendre comme anneau libre tous les anneaux de polynômes avec des indéterminées qui ne commutent pas indexées par un quelconque ensemble ?
  • jobherztjobherzt
    Je ne sais pas trop ce que tu entends par "prendre comme anneau libre", au singulier. Comme pour les groupes libres, il y'a des tas d'anneau libre, plus précisement si $X$ est un ensemble alors l'anneau $\Z<X>$ est libre, sa structure est uniquement determinée par le cardinal de $X$ (si $X,Y$ sont deux ensembles en bijection, alors les anneaux de polynomes correspondants sont isomorphes) et tout anneau libre est de cette forme.

    Comme pour les groupes libres tout ça se formule bien mieux en terme de propriété universelle ou d'adjonction de foncteurs.
  • fanffanf
    Je crois que je commence à saisir. Je voulais juste m'assurer de ce que tu énonces : "si $X$ est un ensemble alors l'anneau $\Z<X>$ est libre"...
    merci
  • jobherztjobherzt
    Comme je le disais ça se voit bien en terme de propriété universelles si $A$ est un anneau quelconque, $X$ un ensemble, alors toute application (ensembliste) $X\rightarrow A$ s'étend, et de façon unique, en un morphisme d'anneau $\Z<X> \rightarrow A$.

    Dit autrement, si on suppose que $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ est fini pour simplifier, alors pour tout polynome $P \in \Z<X>$ et tous éléments $a_1,\dots,a_n$ d'un anneau $A$, $P(a_1,\dots,a_n)$ est un élément de $A$ bien défini, et l'application $P\mapsto P(a_1,\dots,a_n)$ est un morphisme d'anneau.
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