Représentation de $\frak S_3$

fanf
fanf
dans Algèbre
$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Savez-vous où (livre ou web) je peux trouver la théorie des représentations irréductibles du groupe symétrique $\S_3$ avec les règles de fusion qui vont avec ?
Merci !

Réponses

  • Bbidule
    Bbidule
    Bonsoir,

    qu'est-ce qu'une "règle de fusion" ?

    Bien cordialement,
  • afk
    afk
    Il me semble que c'est la donnée des multiplicités $c_{ij,k}$ dans la décomposition
    $$
    V_i \otimes V_j = \bigoplus_k V_k^{\oplus c_{ij,k}},

    $$où $\{V_k\}$ est un système de représentant des représentations irréductibles du groupe considéré. Dit de façon vachement pédante, c'est aussi ce qu'on appelle les constantes de structures de l'algèbre $K_0(Rep(G))$ dans la $\Z$-base $(V_k)$.

    Dans le cas de $\S_3$, les représentations irréductibles sont connues et toutes petites. Il n'y a qu'un coeff qui nécessite un petit calcul.
  • Bbidule
    Bbidule
    Merci afk.
    Ne connaissant pas grand chose au produit tensoriel, j'ai un peu de mal à visualiser la chose.
    D'ailleurs, je ne comprends pas la somme directe dans l'exposant (une erreur de frappe peut-être ?).


    Sinon, je confirme que les représentations irréductibles de $\S_3$ se trouvent très facilement.
    Tu peux trouver la construction de la table des caractères des petits groupes symétriques dans le très bon livre de Gérard Rauch "Les groupes finis et leurs représentations" (Ellipses), assez bien connu des agrégatifs il me semble.

    Bien cordialement,
  • fanf
    fanf
    Oui il y a trois représentations irréductibles à équivalence près : la triviale, la signature et celle qui donne correspond aux isométries du triangle équilatéral.
    Ce que j'aimerais savoir effectivement c'est comment se décompose le produit tensoriel de deux de ces représentations irréductibles en fonction de ces dernières.
  • JLT
    JLT
    Pour $\S_3$ c'est hyper-simple. Il y a trois représentations irréductibles à équivalence près : la représentation triviale $\tau$, la signature $\varepsilon$, et la représentation tautologique $\pi$ de $D_3$. On a évidemment $\varepsilon\otimes \pi\cong \pi$ puisque $\varepsilon\otimes \pi$ est une représentation irréductible de dimension 2 et il n'y a qu'une seule telle représentation. On a aussi $\varepsilon\otimes \varepsilon\cong \tau$.
  • afk
    afk
    Qu'as-tu essayé?

    A quoi ressemble la représentation $\varepsilon \otimes V_2$ et $V_2\otimes V_2$ où $V_2$ est la représentation irréductible de degré 2?

    Et puis quitte à écraser un moustique au bulldozer tu peux facilement calculer les caractères associés et en déduire la multiplicité de chaque représentation irréductible non?
  • JLT
    JLT
    Remarque : avec mes notations, on a
    $$[\pi\otimes \pi]\cong a [\tau]+b[\varepsilon]+c[\pi]$$

    avec $a=1$ (utiliser $\pi\otimes \pi\cong \pi^*\otimes \pi\cong \mbox{End}(\pi)$), $b=a$ (utiliser $\varepsilon\otimes \pi\cong \pi$) et $a+b+\color{red}2\color{black}c=4$ (pour des raisons de dimension).

    Edit : correction suite au message de afk.
  • fanf
    fanf
    Super ! Merci à tous
  • afk
    afk
    $a+b+2c = 4$ non?
  • JLT
    JLT
    Oups. Corrigé.
  • fanf
    fanf
    j'ai pas compris les corrections, il faut obtenir un représentation de dimension 4 quand on fait le produit tensoriel $\pi\otimes\pi$ ?
  • JLT
    JLT
    Ben oui, le produit tensoriel de deux représentations de dimension 2 est de dimension 4.
  • fanf
    fanf
    Bah y a bien un problème la dedans non ? $-a+b+c=4-a+b+2c=4$ c'est bien ce que tu dis ou je comprends pas ?
    > avec $a=1$ (utiliser $\pi\otimes \pi\cong \pi^*\otimes \pi\cong \mbox{End}(\pi)$), $b=a$
    > (utiliser $\varepsilon\otimes \pi\cong \pi$) et ~$a+b+c=4$~ $a+b+2c=4$ (pour des raisons de dimension).
  • afk
    afk
    JLT a voulu barrer le $a+b+c=4$ mais je pense que le fait de barrer n'est pas compatible avec LaTeX.
    [Chez moi, l'expression LaTeX ~$a+b+c=4$~ est bien barrée ! :S AD]

    Si $\pi \otimes \pi = \tau^{a} \oplus \varepsilon^{b} \oplus \pi^{c}$, alors prenant les dimensions on a $$
    \dim \pi \times \dim \pi = a \dim \tau + b \dim \varepsilon + c \dim \pi
    $$ soit $4 = 2\times 2 = a+b+2c$.
  • JLT
    JLT
    C'est AD qui a modifié mon message en essayant de barrer une expression LaTeX. Initialement j'avais simplement écrit à la fin "Edit : je voulais dire $a+b+2c=4$".

    Voici ce ça donne sur mon ordinateur lorsqu'on essaye de barrer une formule en LaTeX :

    26321
  • fanf
    fanf
    Oups ok je vois :)
    Bonne journée à tous !
  • AD
    AD
    Bonjour JLT
    Toutes mes excuses, je n'avais pas imaginé que la correction qui s'affiche ainsi chez moi (FireFox 3.6, Linux Fedora 14) :

    donnait ce que tu montres ci-dessus avec d'autres navigateurs.
    Il s'agit sans doute de l'ordre d'affichage des vignettes, chez moi l'expression LaTeX doit s'afficher avant la barre, alors que chez toi, c'est le contraire. On voit d'ailleurs les deux extrémités de la barre, qu'on pourrait prendre pour des signes '-'.
    J'ai donc re-corrigé ton message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,801382,801470#msg-801470 en faisant apparaitre la différence en rouge.
    Excuse moi encore une fois,
    AD26326
  • mcd
    mcd
    Bonjour,

    Pour mieux expliquer ma question je vais introduire des notations, soit $\rho : G \rightarrow GL(E)$ une représentation. Elle admet une sous représentation $\rho' : G \rightarrow GL(D)$ avec $D$ une droite de $E$. Elle est irréductible. Les caractères sont $ tr( \rho(g)_{|D} ) $.

    Par exemple prenons la représentation par permutation $\rho(g)(e_{x}) = e_{g.x}$ alors la droite dirigée par $\sum_{x \in X} e_{x}$ est stable. Pourquoi la sous représentation admet un seul caractère et pourquoi il vaut $1$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Attention, étant donnée une représentation $\rho$, on lui associe un et un seul caractère, c'est la fonction centrale $g \mapsto \text{tr}(\rho(g))$.

    Quant à savoir pourquoi le caractère vaut $1$ dans ta dernière question, tu devrais calculer $\rho(g)$ pour tout $g \in G$.
  • mcd
    mcd
    Bonjour Poirot, merci pour la correction.

    Je sais calculer $\rho(g)$ il suffit de permuter les colonnes de l'identité. On pourrait prendre $ G = \S_{3}$ et $X = \{1,2,3\} $ par exemple. Donc pour revenir à la question j'imagine qu'il faut que je calcule $\rho(g)_{|D}$ mais c'est un nombre réel. Et Ahhhh oui c'est bon. Merci :).
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