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Produit libre de groupes cycliques

Envoyé par fanf 
Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
Bonjour,
à quoi ressemblent les éléments du produit libre de trois groupes cycliques $<x>*<y>*<z>$ ?
J'ai lu que pour deux groupes cycliques il s'agissait des "mots alternés" en les puissances des générateurs $x$ et de $y$...
Si c'est la même idée avec trois groupes (i.e. on "rajoute" les puissances d'un générateur $z$) je ne vois pas la différence qu'il y aurait entre $<x>*<x>$ et $<x>*<x>*<x>$ (i.e. quand les groupes cycliques considérés dans le produit libre sont les mêmes).
Merci.
moha222
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
non il ya une différence, dans le groupe $<x><x><x>$ les éléments de ce groupe sont des produit des puissances de $x$, (chaque terme pris dans une copie de $<x>$).
par contre pour $<x><y><z>$, (cas non abélien) les éléments sont de la forme
$x^{n_1}y^{p_1}z^{q_1}x^{n_2}y^{p_2}\ldots$ , où $n_1,p_1,q_,n_2\ldots \in \mathbb{Z}$
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
Ma question c'était plutôt le produit libre ! Je n'arrive pas a voir la différence entre le produit libre de deux copies de $<x>$ et le produit libre de trois copies de $<x>$ ?
moha222
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
Le produit libre de deux copies de $<x>$ est formé des éléments qui ressemble à des coulpes, de trois copies des tiplets.
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
je ne comprends pas trop cette réponse...
moha222
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
un élément de $<x><x>$ est representer par un couple $(x^n,x^p)$ avec $n,p\in \mathbb{\Z}$
un élément de $<x><x><x>$ est representer par triplets $(x^n,x^p,x^q)$ avec $n,p,q\in \mathbb{\Z}$, il vient que le groupe $<x><x>$ s'injecte ''strictement'' dans le groupe $<x><x><x>$.
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
On ne parle donc plus de mots ?
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
Concrètement les éléments de $\Z/2\Z*\Z/2\Z*\Z/2\Z$ sont-ils des triplets $(a_1,b_1,c_1)$ ou des mots $a_1b_1c_1a_2b_2c_2\dots$ avec les $a_i,b_i,c_i\in\{0,1\}$ (ou encore autre chose : réduit-on les mots en notation additive lorsque a_i=0 ?) ?
Merci...
moha222
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
il ya une différece entre produit de groupes libres, et le groupe libre engengré par des éléments donnés.
Vous parler du quelle ?
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
Je parlais de produit libre de groupe cyclique moi... donc je pense la deuxième : produit libre engendré par des éléments donnés.
afk
Re: Produit libre de groupes cycliques
il y a sept années
De façon générale, ton produit libre $\Z/n_1 * \ldots * \Z/n_p$ va être le quotient du groupe libre $F_p$ à $n$ générateurs $x_1,\ldots,x_p$ par les relations $x_1^{n_1} = \ldots = x_p^{n_p} = 1$. D'après ce qui précède c'est un mot sur l'alphabet $\{x_1,x_1^{-1},\ldots,x_p,x_p^{-1}\}$ où on remplace $x_ix_{i}^{-1}$ et $x_i^{n_i}$ par le mot vide. Un élément général s'écrit donc de façon unique
$x_{i_1}^{e_{i_1}} \ldots x_{i_\ell}^{e_{i_\ell}}$ où $i_{k} \neq i_{k+1}$ et $e_{i_k} \in \{1,\ldots,n_{i_k}-1\}$.

Dans ton exemple $\Z/2\Z*\Z/2\Z*\Z/2\Z$, on a donc les mots sur $\{x_1,x_2,x_3\}$ où on ne répète jamais 2 fois le même symbole d'affilé
- longueur 0: $1$
- longueur 1: $x_1$, $x_2$, $x_3$.
- longueur 2: $x_1x_2$, $x_2x_1$, $x_1x_3$, $x_3x_1$, $x_3x_1$, $x_2x_3$, $x_3x_2$
- longueur 3: $x_1x_2x_3$, $x_1x_3x_2$, etc...
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