Produit libre de groupes cycliques

il ya une différece entre produit de groupes libres, et le groupe libre engengré par des éléments donnés.
Vous parler du quelle ?

De façon générale, ton produit libre $\Z/n_1 * \ldots * \Z/n_p$ va être le quotient du groupe libre $F_p$ à $n$ générateurs $x_1,\ldots,x_p$ par les relations $x_1^{n_1} = \ldots = x_p^{n_p} = 1$. D'après ce qui précède c'est un mot sur l'alphabet $\{x_1,x_1^{-1},\ldots,x_p,x_p^{-1}\}$ où on remplace $x_ix_{i}^{-1}$ et $x_i^{n_i}$ par le mot vide. Un élément général s'écrit donc de façon unique
$x_{i_1}^{e_{i_1}} \ldots x_{i_\ell}^{e_{i_\ell}}$ où $i_{k} \neq i_{k+1}$ et $e_{i_k} \in \{1,\ldots,n_{i_k}-1\}$.

Dans ton exemple $\Z/2\Z*\Z/2\Z*\Z/2\Z$, on a donc les mots sur $\{x_1,x_2,x_3\}$ où on ne répète jamais 2 fois le même symbole d'affilé
- longueur 0: $1$
- longueur 1: $x_1$, $x_2$, $x_3$.
- longueur 2: $x_1x_2$, $x_2x_1$, $x_1x_3$, $x_3x_1$, $x_3x_1$, $x_2x_3$, $x_3x_2$
- longueur 3: $x_1x_2x_3$, $x_1x_3x_2$, etc...