Stabilisateur d'un ensemble

Bonjour à tous,

Je suis en train de travailler sur un article, et je rencontre un problème de vocabulaire. Lorsque l'on considère l'action d'un groupe $G$ sur un ensemble $X$, on peut définir le stabilisateur d'un sous-ensemble $S \subset X$ de deux manières différentes : $\{g \in G \ | \ gS=S \}$ et $\{ g \in G \ | \ \forall s \in S, \ gs=s \}$ ; en anglais, on parlerait du premier comme du global stabilizer et du second comme du pointwise stabilizer.

Savez-vous s'il existe un vocabulaire similaire en français ?

J'ai pensé à appeler le premier le stabilisateur de $S$ et le second le fixateur de $S$, mais je n'ai pas trouvé de référence utilisant cette appellation (surtout qu'il existe déjà une dénomination similaire pour $\text{Fix}(g)=\{x \in X \ | \ gx=x\}$).

Merci d'avance,
Seirios