La dérivée de la norme

h · January 2013

Ben... développer le produit scalaire, comme on te l'a dit plein de fois. T'es vraiment reloud à ignorer ce qu'on te raconte. Je réalise que je m'étais dit que j'arrêterais d'intervenir mais que j'ai oublié cette bonne résolution.

C. de Pluquaire · January 2013

Bonne nuit,

Espace à produit scalaire réel, la norme est llxll = < x l x >^1/2, A continu.
f(x) = llAx - bll² = < Ax - b l Ax - b >.
f(x + h) - f(x) = < A(x + h) - b l A(x + h) - b > - < Ax - b l Ax - b > = < Ax + Ah - b l Ax + Ah - b > - < Ax - b l Ax - b > = < Ax - b l Ax + Ah - b > + < Ah l Ax + Ah - b > - < Ax - b l Ax - b >
= < Ax - b l Ah > + < Ah l Ax + Ah - b > = < A*(Ax - b) l h > + < A*(Ax + Ah - b) l h > = 2 < A*(Ax - b) l h > + < A*Ah l h >, où < AX l Y > = < X l A*Y >.
l< A*(Ah) l h >l = l< Ah l Ah >l = llAhll² ≤ llAll².llhll² = [llAll².llhll].llhll et lim llAll².llhll = 0, donc:
Donc Dƒ(x).h : 2 < A*(Ax - b) l h >, et grad ƒ(x) = A*(Ax - b).

On peut, bien entendu, utiliser la formule des dérivées composées, à condition de connaître la dérivée de x l--> llxll².
Bien cordialement.

[Il faut encadrer les '<' par des ' ', sinon l'afficheur du forum le prend pour un début de bannière html, et cache le contenu jusqu'au '>' suivant. AD]

Merci AD !

diego · January 2013

Bonsoir

Tu as un cours de calcul diff ou un livre?
La différentielle du produit scalaire est donnée en exemple dans presque tous les cours.
Sinon il y en pas mal de docs sur le net.

La dérivée de la norme

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Bonjour!

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