algèbre sur un anneau

La définition n'est pas complète. Je donne celle de Ramis/D/O.
Soit $A$ un anneau commutatif. Une $A$- algèbre est un quadruplet $(E,+,*,°)$ vérifiant les axiomes :

A1 $(E,+, °)$ est un A-module
A2 $(E, + , *)$ est un anneau
A3 $\forall \alpha \in A$, $\forall (x,y) \in E^2$, $(\alpha x) * y = x*(\alpha y) = \alpha ( x*y)$


Edit : sur ''wiki'', il n'est pas précisé que la loi interne $*$ sur $E^2$ est associative, il semble que ce ne soit pas nécessaire. Auquel cas, la définition que je viens de donner n'est qu'un cas particulier d'algèbre : les algèbres associatives.

Merci ev quelque chose a dérapé...

Tiky> Attention, tu veux que la multiplication dans $B$ soit $A$-bilinéaire, donc il faut que l'image de $\phi$ soit dans le centre de $B$ pour que ça marche.

Bonjour,

je dis et je répète ce que j'ai probablement déjà dit plusieurs fois sur ce forum : une $A$-algèbre ($A$ anneau commutatif unitaire) est un $A$-module $\mathcal{A}$ muni d'une application $A$-bilinéaire, que l'on appelle le produit de l'algèbre. Point barre.

C'est la définition la plus générale et c 'est la bonne. Une algèbre n'est pas nécessairement associative ou unitaire (ie le produit n'est pas nécessairement associatif, ou n'a pas nécessairement un élément neutre).

Comme précisé par Tiky et jobhertz, la donnée d'une $A$-algèbre {\bf associative unitaire} est équivalente à la donnée d'un couple $(B,\phi)$, où $B$ est un anneau et $\phi:A\to B$ est un morphisme d'anneaux dont l'image est contenue dans le centre de $B$.